Презентация на тема дискретни случайни променливи. Случайни променливи Работата може да се използва за уроци и доклади по предмета "Математика"

ЗАКОН ЗА ДИСКРЕТНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Начертайте възможните стойности на случайната променлива, а на ординатната ос - вероятностите за тези стойности.

Функция на разпределение и нейните свойства. Функция на разпределение на дискретна случайна променлива.

Плътност на разпределение и нейните свойства

1. Видове случайни величини

2. Разпределение на дискретна случайна променлива

3. Разпределителна функция

Свойства на функцията на разпределение на случайна променлива X

4. Числени характеристики на дискретни случайни величини

1). Математическо очакване и неговите свойства

Вероятностно значение на математическото очакване:

Свойства на математическото очакване

2). Дисперсия и нейните свойства

Дисперсионни свойства:

3). Стандартно отклонение

Пример. Изчислете математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение на дискретна случайна променлива X,

Коментирайте. Очакване и вариация на броя на случванията на събитие в независими опити

Работата може да се използва за уроци и доклади по предмета "Математика"

2 СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ И ТЕХНИТЕ ЗАКОНИ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ Ред на разпределение. Полигон на разпределение Законът за разпределение на случайна променлива е всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

3 Помислете за прекъсната случайна променлива X с възможни стойности x 1, x 2, ..., x n. Всяка от тези стойности е възможна, но не е сигурна и стойността X може да приеме всяка от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента стойността X ще приеме една от тези стойности, т.е. ще се случи едно от пълната група несъвместими събития. Нека означим вероятностите за тези събития с буквите p със съответните индекси: P(X=x 1)=p 1; P(X=x 2) = p 2 ;...; P(X = x n) = p n. Тъй като несъвместимите събития образуват пълна група, сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайната променлива е равна на единица

4 Серията на разпределение на случайната променлива X има следната форма xixi x1x1 x2x2 …xnxn pipi p1p1 p2p2 …pnpn графично представяне За да се придаде по-визуален вид на серията на разпределение, те често прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайната променлива се нанасят по оста x, а вероятността по ординатната ос тези стойности. Тази фигура се нарича разпределителен полигон.

7 Функцията на разпределение F(x) понякога се нарича още кумулативна функция на разпределение или кумулативен закон на разпределение. Функцията на разпределение е най-универсалната характеристика на случайна променлива. Съществува за всички случайни променливи: както прекъснати, така и непрекъснати. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка, т.е. е една от формите на закона за разпределение.

X 1 F(x 2) F(x 1). F(x 2) F(x 1). 2. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула: F " title="8 Нека формулираме някои общи свойства на функцията на разпределение. 1. Функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. за x 2 > x 1 F(x 2) F(x 1). При минус безкрайност функцията на разпределение е нула: F" class="link_thumb"> 8 !} 8 Нека формулираме някои общи свойства на функцията на разпределение. 1. Функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. за x 2 > x 1 F(x 2) F(x 1). F(x 2) F(x 1). 2. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула: F (-) = 0. 3. При плюс безкрайност функцията на разпределение е равна на единица: F (+) = 1. x 1 F(x 2) F(x 1). F(x 2) F(x 1). 2. При минус безкрайност функцията на разпределение е нула: F "> x 1 F(x 2) F(x 1). F(x 2) F(x 1). 2. При минус безкрайност функцията на разпределение е нула : F (- ) = 0. 3. При плюс безкрайност функцията на разпределение е равна на единица: F (+) = 1."> x 1 F(x 2) F(x 1). F(x 2) F(x 1). 2. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула: F " title="8 Нека формулираме някои общи свойства на функцията на разпределение. 1. Функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. за x 2 > x 1 F(x 2) F(x 1). При минус безкрайност функцията на разпределение е нула: F"> title="8 Нека формулираме някои общи свойства на функцията на разпределение. 1. Функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. за x 2 > x 1 F(x 2) F(x 1). F(x 2) F(x 1). 2. При минус безкрайност функцията на разпределение е нула: F"> !}

10 Без да даваме строго доказателство за тези свойства, ние ще ги илюстрираме с помощта на визуална геометрична интерпретация. За да направим това, ще разгледаме случайната променлива X като произволна точка X на оста Ox, която в резултат на експеримент може да заеме една или друга позиция. Тогава функцията на разпределение F(x) е вероятността произволна точка X в резултат на експеримента да падне отляво на точка x.

11 Функция на плътност на разпределение f (x) - произволна функция на разпределение характеризира, така да се каже, плътността, с която стойностите на случайна променлива се разпределят в дадена точка. Тази функция се нарича плътност на разпределение (известна още като „плътност на вероятността“) на непрекъсната случайна променлива. характеризира, така да се каже, плътността, с която стойностите на случайна променлива са разпределени в дадена точка. Тази функция се нарича плътност на разпределение (известна още като „плътност на вероятността“) на непрекъсната случайна променлива. Понякога функцията f(x) се нарича още „функция на диференциалното разпределение“ или „закон на диференциалното разпределение“ на стойността X.

14 Да разгледаме непрекъсната случайна променлива X с плътност на разпределение f(x) и елементарно сечение dx, съседно на точка x. Вероятността случайна променлива X да попадне в този елементарен участък (до безкрайно малки от по-висок порядък) е равна на f(x)dx. Величината f(х)dх се нарича вероятностен елемент. Геометрично това е площта на елементарен правоъгълник, лежащ върху сегмента dx.

16 Нека изразим вероятността стойността X да попадне на отсечката от α до β чрез плътността на разпределението. Очевидно е, че е равна на сумата от вероятностните елементи за целия този участък, т.е. интеграла: Геометрично, вероятността стойността X да попадне в участъка (α, β) е равна на площта на кривата на разпределение въз основа на този раздел.

17 Основни свойства на плътността на разпределение. Плътността на разпределение е неотрицателна функция: Плътността на разпределение е неотрицателна функция: Това свойство пряко следва от факта, че функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция. Интегралът върху безкрайните граници на плътността на разпределението е равен на единица:

19 Математическото очакване на случайна променлива е сумата от произведенията на всички възможни стойности на случайна променлива по вероятностите на тези стойности – вероятностите на стойностите. – вероятности на стойностите.

21 Концепцията за момент се използва широко в механиката за описание на разпределението на масите. Точно същите техники се използват в теорията на вероятностите за описание на основните свойства на разпределението на случайна променлива. Най-често в практиката се използват два вида моменти: начален и централен.

24 Централният момент от ред s на случайна променлива X е математическото очакване на s-та степен на съответната центрирана случайна променлива: За всяка случайна променлива централният момент от първия ред е равен на нула: тъй като математическото очакване на a центрираната случайна променлива винаги е равна на нула.

25 От всички моменти като характеристики на случайна величина най-често се използват първият начален момент (математическо очакване) и вторият централен момент. Вторият централен момент се нарича дисперсия на случайната променлива (D[X]). Според определението за централен момент: т.е. дисперсията на случайна променлива X е математическото очакване на квадрата на съответната центрирана променлива.

29 НОРМАЛЕН ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ Нормалният закон за разпределение (често наричан закон на Гаус) играе изключително важна роля в теорията на вероятностите и заема специално място сред другите закони за разпределение. Това е най-често срещаният разпределителен закон в практиката. Основната характеристика, която отличава нормалния закон от другите закони, е, че той е ограничаващ закон, към който други закони на разпределение се приближават при много общи типични условия.

30 Кривата на разпределение, според нормалния закон, има симетричен камбановиден вид. Максималната ордината на кривата е равна на точката x = t; С отдалечаване от точка m плътността на разпределението намалява и при x ± кривата асимптотично се доближава до абсцисната ос.

33 ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕЙЛЕЙ Разпределението на модула на вектор върху равнина, чиито координати са независими случайни променливи, които имат нормален закон на разпределение с нулева средна стойност и единична дисперсия, се описва с разпределението на Релей. Разпределението на Rayleigh се прилага, когато грешките на измерване по координатите x и y са независими и нормално разпределени с еднакви дисперсии.

Случайните величини са величини, които в резултат на експеримента приемат определени стойности, като предварително не е известно какви.

Обозначете: X,Y,Z

Пример за случайна променлива би бил:

1) X – броят точки, който се появява при хвърляне на зар

2) Y – брой изстрели до първото попадение в целта

3) Ръст на човек, обменен курс на долара, печалби на играча и т.н.

Случайна променлива, която приема изброим набор от стойности, се нарича дискретна.

Ако наборът от стойности на r.v. Ако е неизброимо, тогава такова количество се нарича непрекъснато.

Случайна променлива X е числова функция, дефинирана в пространството от елементарни събития Ω, която присвоява на всяко елементарно събитие W число X(w), т.е. X=X(w),W

Пример: Експериментът се състои в хвърляне на монета 2 пъти. В пространството на елементарни събития Ω(W1,W2,W3,W4), където W1 =GG, W2 =GR, W3 =RG, W4 =RR. Може да се разгледа r.v. X е номерът на появата на герба. X е функция на

елементарно събитие W2: X(W1 )=2, X(W2 )=1, X(W3 )=1, X(W4 )=0 X – дискретно с.в. Със стойности X1 =0, X2 =1, X3 =2.

За да се опише напълно една случайна променлива, не е достатъчно само да се знаят нейните възможни стойности. Също така е необходимо да се знаят вероятностите за тези стойности

СЛУЧАЙНА ВЕЛИЧИНА

Нека X е дискретно r.v., което приема стойности x1,

x2…xn..

С определена вероятност Pi =P(X=xi ), i=1,2,3…n…, която определя вероятността в резултат на експеримента с.в. X ще приеме стойността xi

Тази таблица се нарича близко разпространение

Тъй като събитията (X=x),(X=x)... са несъвместими и образуват

1 p i 1 2

пълна група, тогава i сумата1 на техните вероятности е равна на

Полилиния, свързваща точките (X1, P1), (X2, P2),... се нарича

разпределителен полигон.







	х 1 х 2

Случайна променлива X е дискретна, ако има ограничено или изброимо множество X1, X2,...,Xn,... такова, че P(X=xi) = pi > 0

(i=1,2,…) и p1 +p2 +p3 +… =1

Пример: В една урна има 8 топки, 5 от които са бели, останалите са черни. От него произволно се изтеглят 3 топки. Намерете закона за разпределение на броя на белите топки в извадката.

Решение: Възможни стойности на r.v. X – броят на белите топки в извадката е x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4 =3.

Техните вероятности ще бъдат съответно

p( x 0)

C 5 1 C 3 2

P2 =p(x=1)=

Контрол:

C 2 C1

P3 =p(x=2)=

С 5 3 С 3 0

P4 =p(x=2)=

S8 3

Универсален начин за определяне на закона за разпределение на вероятностите, подходящ както за дискретни, така и за непрекъснати случайни променливи, е неговата функция на разпределение.

Функцията F(x) се нарича кумулативна функция на разпределение.

Геометрично, равенството (1) може да се тълкува по следния начин: F(x) е вероятността r.v. X ще приеме стойност, която е изобразена на числовата ос от точка, разположена вляво от точка x, т.е. произволна точка X ще попадне в интервала (∞,x)



Функцията на разпределение има следните свойства:
1)F(x) е ограничено, т.е. 0 F(x) 1
2)F(x) е ненамаляваща функция върху R, т.е. ако, x 2 x 1 тогава
F(x2) F(x1)
3)F(x) изчезва при минус безкрайност и е равно на 1
в плюс безкрайност, т.е.			F(∞)=0, F(+∞)=1
4) Вероятност r.v. X в интервала е равно на нарастването
неговата функция на разпределение на този интервал, т.е.
P( a X b) F(b) F(a)

5) F(x) е ляво непрекъснато, т.е. Lim F(x)=F(x0 )

x x0

С помощта на функцията за разпределение можете да изчислите

Равенството (4) следва пряко от определението

6) Ако всички възможни стойности x b на случайната променлива X

принадлежат на интервала (a,b), тогава за неговата функция на разпределение F(x)=0 за, F(x)=1 за

Най-важната характеристика на непрекъсната случайна променлива е плътността на разпределението на вероятностите.

Случайна променлива X се нарича непрекъсната, ако тя

функцията на разпределение е непрекъсната и диференцируема навсякъде освен в отделни точки.

Плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната r.v. X се нарича производна на неговата функция на разпределение. Означава се с f(x) F /

представлява средната вероятност за единица дължина на участъка, т.е. разпределение на средната плътност на вероятността. Тогава


	P( x X x x)


Тоест плътността на разпределение е границата на съотношението
вероятност за попадане на случайна променлива
интервал		Към дължината ∆х на този интервал,
	F (x x F (x) P( x X x x)
когато ∆x→0		(6) следва равенството

Тези. плътността на вероятността се определя като функция f(x), удовлетворяваща условието P ( x X x x ) f (x ) dx

Изразът f(x)dx се нарича вероятностен елемент.

Свойства на плътността на разпределение:

1) f(x) е неотрицателна, т.е. f (x) 0

Тестови въпроси 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Какво се нарича случайна променлива?
Какви видове случайни променливи познавате?
Това, което се нарича дискретно произволно
размер?
Как се нарича законът за разпределение?
случайна величина?
Как можете да зададете закона за разпределение
случайна величина?
Как може да се зададе законът за разпределение на DSV?
Назовете основните числени характеристики
DSV и запишете формулите за изчисляването им.

Една от най-важните концепции в
теории
вероятности
е
концепция за случайна променлива.
Количеството се нарича случайно,
ако в резултат на опита тя може
приемам
всякакви
предварително
неизвестни стойности.

Случайни променливи
CB
Дискретни случайни променливи
DSV
Непрекъснати случайни променливи
NSV

Отделен
случаен
величина
(DSV)
–
Това
случайна променлива, която
приема
отделно
изолиран,
броим
много значения.
Пример. Брой посетители
клиники през деня.

Непрекъснато
случаен
величина
(NSV)
–
Това
случаен
размер,
приемане на всякакви стойности
от някакъв интервал.
Пример.
Тегло
наслуки
избран таблет от някои
лекарство.

Случайни променливи означават
с главни латински букви
азбука: X, Y, Z и т.н.,
и стойностите им са съответни
малки букви: x, y, z и др.

Пример.
Ако
случаен
стойността X има три възможни
ценности, тогава те могат да бъдат
обозначени както следва: x1, x2, x3.
X: x1, x2, x3.

Закон за разпределение на DSV
Наречен
кореспонденция
между
възможен
стойности
И
техен
вероятности.
закон
разпространение
Мога
въвеждам
V
форма
маси,
формули, графично.

При посочване на закона в таблици
Първа линия на разпространение на DSV
маси
съдържа
възможен
стойности, а втората – техните вероятности:
х
x1
x2
…
xn
П
p1
p2
…
pn

Като се има предвид, че в едно
test SV приема едно и само едно нещо
една възможна стойност, получаваме това
събития
X=x1 , X=x2 ,…, X=xn образуват пълно
група, следователно сумата от вероятностите
от тези събития, т.е. сумата от вероятностите
вторият ред на таблицата е равен на едно:
p1+p2+...+pn=1.

стр
p2
p1
pn
0
x1
x2
…
…
xn
х
За
видимост
разпределителен закон
DSV може да бъде изобразен
графично защо
V
правоъгълен
система
координати
строят
точки
с
координати (xi;pi),
и след това ги свържете
прави сегменти.
получено
фигура
Наречен
многоъгълник
разпределения.

Функция на случайно разпределение
на величината X се нарича функция
валиден
променлива
х,
определени от равенството F(x)=P(X Нарича се още интеграл
функция на разпределение на DSV и NSV.

Тъй като до стойността x1 случайната променлива X
не се е случило, тогава вероятността от събитие X< x1
равен на нула.
За всички стойности на x1 събития X x1, т.е. p1.
Но при x>x2 SV вече може да приеме две
възможните стойности на x1 и x2, така че
вероятност за събитие X равна на сумата от вероятностите p1+p2 и т.н.

Ако дискретните стойности са случайни
количествата x1, x2 , … ,xn се намират в
възходящ ред, след това всяка стойност
xi от тези количества се поставя в съответствие
сумата от вероятностите на всички предишни
стойности и вероятност pi:
x1
x2
x3
…
xn
p1 p1+ p2 p1+ p2 + p3 … p1+ p2 + p3+ … + pn

0,
стр
1
F x p1 p2
...
1
при
x x1;
при
x1 x x2;
при
x2 x x3;
...
...
при
x xn .

Чрез начертаване на възможното
DSV X стойности и съответните
суми
вероятности
получаваме
стъпаловидна фигура, която
е
график
функции
вероятностни разпределения.

г
p1+p2+...+pn
...
p1+p2
p1
0
x1
x2
…
xn
х

1)0 F x 1;
2) x1 x2 F x1 F x2

Математическото очакване на DSV X се нарича
сумата от продуктите на всички негови стойности по
съответните вероятности.
н
M X x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi
аз 1

Математическо очакване приблизително
равно на
средно аритметично
аритметика
наблюдаваното
стойности
случаен
количества. (На числовата ос, възможно
стойностите са разположени отляво и отдясно на
математически
очаквания,
T.
д.
математически
очакване
Повече ▼
най-малко
И
по-малко
най-великия
възможни стойности).

1.
Математически
очакване
постоянен
величината е равна на най-постоянната
M C C
2. Постоянният множител може да бъде разширен отвъд
знак за математическо очакване
M CX C M X

3. Математическо очакване на сумата
от краен брой случайни променливи е равно на
сумата от техните математически очаквания
M X Y M X M Y

4.
Математически
очакване
произведения на краен брой независими
случайни променливи е равно на техния продукт
математически очаквания.
(Извикват се две случайни променливи
независимо дали законът за разпределение
един от тях не зависи от какво
възможен
стойности
приет
друго
размер)
M X Y M X M Y

Дисперсия (разсейване) DSV
наречено математическо очакване
квадрат
отклонения
NE
от
нея
математическо очакване
D X M X M X
2

1. Дисперсията на постоянна стойност е равна на
нула
D C 0

2. Постоянният множител може да бъде
извършвам
отзад
знак
отклонения,
квадратура
D CX C D X
2

3. Дисперсия на сбора на крайно число
независими SV е равно на сумата от тях
вариации
D X Y D X D Y

Теорема. Дисперсията на DSV е равна на разликата
между математическото очакване на квадрата
DSV X и квадратът на неговия математически
очаквания
D X M X M X
2
2

Стандартно отклонение
случаен
количества
х
Наречен
аритметика
значение
корен
квадрат на неговата дисперсия
X D X

определя се като броя на учениците в
наслуки
избрани
група,
използвайки
следните данни:
х
8
9
10
11
12
П
0,2
0,1
0,3
0,2
0,2

M X 8 0,2 9 0,1 10 0,3 11 0,2 12 0,2
1,6 0,9 3 2,2 2,4 10,1;

D X 8 0,2 9 0,1 10 0,3
2
2
2
11 0,2 12 0,2 10,1
2
2
103,9 102,01 1,89;
X 1,89 1,37.
2

Ако вероятността за настъпване на събитие А в
всяко изпитание не зависи от изхода на останалите
тестове, тогава такива тестове са
независима.
Позволявам
тези
вероятности
са еднакви и равни на p.
Тогава вероятността събитие А да не се случи
в процес
q=1-p.

Теорема.
Математически
изчакване на броя на събитията на събитие А
V
независимите тестове са равни
произведение на броя тестове по
вероятност за възникване на събитие А в
всеки тест:
M X n стр

Теорема. Разлика в броя на изявите
събития А в независими опити
равно на произведението на броя опити
върху вероятността за възникване и не
външен вид
събития
А
V
един
тест:
D X n p q

Пример. Проверяват се пет аптеки
годишен
баланс.
Вероятност
правилен баланс
всяка аптека е 0,7. намирам
математически
очакване
И
дисперсия на правилно оформени
баланси.
Решение.
По условие n=5; р=0,7;
q=1-0.7=0.3.

Дискретни случайни променливи Помислете за случайна променлива *, чиито възможни стойности образуват крайна или безкрайна последователност от числа x1, x2, ..., xn, .... Нека е дадена функция p(x), чиято стойност във всяка точка x=xi (i=1,2, ...) е равна на вероятността стойността да приеме стойността xi

Такава случайна променлива се нарича дискретна (прекъсната). Функцията p(x) се нарича закон за разпределение на вероятността на случайна променлива или накратко закон за разпределение. Тази функция е дефинирана в точките на редицата x1, x2, ..., xn, .... Тъй като във всеки тест случайната променлива винаги приема някаква стойност от диапазона на нейното изменение, такава случайна променлива се нарича дискретна (прекъсната). Функцията p(x) се нарича закон за разпределение на вероятността на случайна променлива или накратко закон за разпределение. Тази функция е дефинирана в точките на редицата x1, x2, ..., xn, ... . Тъй като във всеки тест случайната променлива винаги приема някаква стойност от диапазона на нейното изменение, то

Пример 1. Случайна променлива е броят точки, които се появяват, когато зарът бъде хвърлен веднъж. Възможните стойности са числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Освен това вероятността някоя от тези стойности да приеме е еднаква и равна на 1/6. Какъв ще е законът за разпределение? (Решение) Пример 1. Случайна променлива - броят точки, които се появяват, когато зарът бъде хвърлен веднъж. Възможните стойности са числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Освен това вероятността някоя от тези стойности да приеме е еднаква и равна на 1/6. Какъв ще е законът за разпределение? (Решение) Пример 2. Нека случайната променлива е броят на случванията на събитие A в един опит и P(A)=p. Наборът от възможни стойности се състои от 2 числа 0 и 1: =0, ако събитие А не е настъпило, и =1, ако е настъпило събитие А. По този начин,

Законът за разпределение на вероятностите според формулата на Бернули често се нарича биномен, тъй като Pn(m) представлява m-тия член на биномното разширение. Законът за разпределение на вероятностите според формулата на Бернули често се нарича биномен, тъй като Pn(m) представлява m-тия член на биномното разширение. Нека произволна променлива приема всяка неотрицателна цяло число и

Пример 3. В завода пристигна партида от 1000 части. Вероятността частта да е дефектна е 0,001. Каква е вероятността сред пристигналите части да има 5 дефектни? (Решение) Пример 3. Партида от части в размер на 1000 броя пристигна в завода. Вероятността частта да е дефектна е 0,001. Каква е вероятността сред пристигналите части да има 5 дефектни? (Решение) Разпределението на Поасон често се среща в други задачи. Така например, ако един телефонен оператор получава N повиквания средно на час, тогава, както може да се покаже, вероятността P(k), че тя ще получи k повиквания в рамките на една минута, се изразява с формулата на Поасон, ако поставим

Ако възможните стойности на случайна променлива образуват крайна последователност x1, x2, ..., xn, тогава законът за разпределение на вероятностите на случайната променлива е даден под формата на следната таблица, в която Ако възможните стойности на случайна променлива образува крайна последователност x1, x2, ..., xn, тогава законът за разпределение на вероятността на случайна променлива е определен под формата на следната таблица, в която

Ще начертаем възможните стойности на случайната променлива по хоризонталната ос Ще начертаем възможните стойности на случайната променлива по хоризонталната ос, а стойностите на функцията по вертикалната ос. Графиката на функцията p(x) е показана на фиг. 2. Ако свържете точките на тази графика с прави сегменти, ще получите фигура, наречена разпределителен многоъгълник.

Вероятностите p(xi) се изчисляват с помощта на формулата на Бернули за n=10. За x>6 те практически са равни на нула. Графиката на функцията p(x) е показана на фиг. 3. Вероятностите p(xi) се изчисляват с помощта на формулата на Бернули за n=10. За x>6 те практически са равни на нула. Графиката на функцията p(x) е показана на фиг. 3.

От определението за производна следва:

F(x x) F(x)

P( x X x x)

Но според формула (2) отношението

Готовите презентации по математика се използват като визуални помощни средства, които позволяват на учител или родител да демонстрира изучаваната тема от учебника с помощта на слайдове и таблици, да покаже примери за решаване на задачи и уравнения, както и да провери знанията. В този раздел на сайта можете да намерите и изтеглите много готови презентации по математика за ученици от 1, 2, 3, 4, 5, 6 клас, както и презентации по висша математика за студенти.