Как найти периметр треугольника зная. Находим периметр треугольника различными способами

Предварительные сведения

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 4

Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

Определение 5

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

Определение 6

Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

Пример 1

Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

$P=34+12+11=57$ см

Ответ: $57$ см.

Пример 2

Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

$P=10+8+6=24$ см

Ответ: $24$ см.

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+β=2α+β$

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Пример 3

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Ответ: $35$ см.

Пример 4

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

Рассмотрим рисунок по условию задачи:

Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Ответ: $32$ см.

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+α=3α$

Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

Пример 5

Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=3\cdot 12=36$ см

Периметр фигуры – сумма длин всех ее сторон. Соответственно, дабы обнаружить периметр треугольника , нужно знать, чему равна длина всякой из его сторон. Для поиска сторон применяются свойства треугольника и основные теоремы геометрии.

Инструкция

1. Если все три стороны треугольника теснее даны в условии задачи, легко сложите их. Тогда периметр будет равен: P = a + b + c.

2. Пускай даны две стороны a, b и угол между ними?. Тогда третью сторону дозволено обнаружить по теореме косинусов: c? = a? + b? – 2 a b cos(?). Помните, что длина стороны может быть только позитивной.

3. Частный случай теоремы косинусов – теорема Пифагора, которая применима для прямоугольных треугольников. Угол? в данном случае равен 90°. Косинус прямого угла обращается в единицу. Тогда c? = a? + b?.

4. Если в условии дана только одна из сторон, но при этом вестимы углы треугольника, две другие стороны дозволено обнаружить по теореме синусов. Кстати, углы могут быть заданы не все, следственно благотворно помнить, что сумма всех углов треугольника равна 180°.

5. Выходит, пускай дана сторона a, угол? между a и b, ? между a и c. 3-й угол? между сторонами b и c легко обнаружить из теоремы о сумме углов треугольника: ? = 180° – ? – ?. По теореме синусов, a / sin(?) = b / sin(?) = c / sin(?) = 2 R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Дабы обнаружить сторону b, дозволено выразить ее из этого равенства через углы и сторону a: b = a sin(?) / sin(?). Подобно выражается и сторона c: c = a sin(?) / sin(?). Если, скажем, дан радиус описанной окружности, но не дана длина ни одной из сторон, задачу также допустимо решить.

6. Если в задаче дана площадь фигуры, нужно записать формулу для площади треугольника через стороны. Выбор формулы зависит от того, что еще знаменито. Если, помимо площади, заданы две стороны, поможет использование формулы Герона. Площадь дозволено выразить также через две стороны и синус угла между ними: S = 1/2 a b sin(?), где? – угол между сторонами a и b.

7. В некоторых задачах может быть задана площадь и радиус окружности, вписанной в треугольник. В таком случае выручит формула r = S / p, где r – радиус вписанной окружности, S – площадь, p – полупериметр треугольника. Полупериметр из этой формулы выразить легко: p = S / r. Осталось обнаружить периметр: P = 2 p.

Треугольник – это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр?

Инструкция

1. Периметр треугольника – это сумма длин всех его 3 сторон.Обозначим стороны треугольника а, b, c. Периметр в математических формулах обозначается латинской буквой Р. Значит, исходя из правила, Р = а + b + cДопустим, наши стороны треугольника имеют такие длины: а = 3 см, b = 4 см, с = 5 смЧтобы обнаружить периметр данного треугольника – необходимо сложить длины всех его сторон.Т.е. Р = 3 + 4 + 5Р = 12 смНе трудная задача, чай правда?

Видео по теме

Периметром треугольника , как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.
Формула периметра треугольника выглядит так:

Пример расчета периметра треугольника. Пусть дан треугольник со сторонами a = 4см, b = 6 см, c = 7 см. подставим данные в формулу: см

Формула расчета периметра равнобедренного треугольника будет выглядеть так:

Формула расчета периметра равностороннего треугольника :

Пример расчета периметра равностороннего треугольника. Когда все стороны фигуры равны, то их можно просто умножить на три. Допустим, дан правильный треугольник со стороной 5 см в таком случае: см

В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по теореме Пифагора . К примеру, если известны длины катетов, то можно найти гипотенузу по формуле:

Рассмотрим пример расчета периметра равнобедренного треугольника при условии, что мы знаем длину катетов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.
Дан треугольник с катетами a =b =5 см. Найти периметр. Для начала найдем недостающую сторону с . см
Теперь посчитаем периметр: см
Периметр прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 17 см.

В случае, когда известна гипотенуза и длина одного катета, можно найти недостающий по формуле:
Если в прямом треугольнике известна гипотенуза и один из острых углов, то недостающая сторона находится по формуле.

Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю,

Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.

Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:

Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.

Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.

Альтернативный вариант

В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:

Периметр по двум сторонам

Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольникеявляется наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:

биссектриса вершинного угла;
медиана к основанию;
высота треугольника;
срединный перпендикуляр.

Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.

В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».

В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:

Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.

Полезное видео: задачи на периметр труегольника

Треугольник прямоугольный

Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.

В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.

Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:

Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.

Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:

В статье на примерах покажем, как находить периметр треугольника . Рассмотрим все основные случая, как найти периметры треугольников , даже когда не все значения сторон известны.

Треугольником называется простая геометрическая фигура состоящая из трех прямых линий пересекающих друг друга. В которой точки пересечения прямых, называются вершинами, а прямые линии соединяющие их, называются сторонами.
Периметром треугольника называется сумма длин сторон треугольника. От того сколько мы имеем изначальных данных, для вычисления периметра треугольника, зависит каким из вариантов мы воспользуемся, для его вычисления.
Первый вариант
Если мы знаем длины сторон n, y и z треугольника, то периметр мы можем определить с помощью следующей формулы: в которой P - это периметр, n, y, z- стороны треугольника

периметр прямоугольника формула

P = n + y + z

Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =8см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 10 + 10 + 8 = 28.
Ответ: Р = 28см.

Для равностороннего треугольника находим периметр так - длина одной стороны умноженная на три. формула выглядит следующим образом:
Р = 3n
Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =10см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 10 * 3 = 30
Ответ: Р = 30см.

Для равнобедренного треугольника находим периметр так - к длине одной боковой стороны умноженной на два, прибавляем сторону основания
Равнобедренным треугольником называется простейший многоугольник у которого две боковые стороны равны, а третья сторона называется основанием.

P = 2n + z

Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =7см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 2 * 10 + 7 = 27.
Ответ: Р = 27см.
Второй вариант
Когда нам не известна длина одной стороны, но мы знаем величины длины двух других сторон и угла между ними, а периметр треугольника возможно найти только после того как мы узнаем длину третьей стороны. В этом случае неизвестная сторона будет равна корню квадратному из выражения в2 + с2 - 2 ∙ в ∙ с ∙ cosβ

P = n + y + √ (n2 + y2 - 2 ∙ n ∙ y ∙ cos α)
n, y - длины сторон
α - размер угла между известными нам сторонами

Третий вариант
Когда нам не известны стороны n и y, но мы знаем длину стороны z и величины прилегающих к ней. Периметр треугольника в этом случае мы сможем найти только тогда когда узнаем длины двух неизвестных нам сторон, определим их с помощью теоремы синусов, с помощью формулы

P = z + sinα ∙ z / (sin (180°-α - β)) + sinβ ∙ z / (sin (180°-α - β))
z - длина известной нам стороны
α, β - размеры известных нам углов

Четвертый вариант
Так же можно найти периметр треугольника по радиусу вписанному в его окружность и площади треугольника. Определяем периметр по формуле

P = 2S / r
S - площадь треугольника
r - радиус вписанной в него окружности

Мы с вами разобрали четыре разных варианта, как можно найти периметр треугольника.
Находить периметр треугольника в принципе не сложно. Если у вас появились какие то вопросы по статье, дополнения, то обязательно пишите их в комментариях.

Кстати, на referatplus.ru вы можете скачать рефераты по математике бесплатно .