– это фигура, в основании которой лежит произвольный многоугольник, а боковые грани представлены треугольниками. Их вершины лежат в одной точке и соответствуют вершине пирамиды.

Пирамида может быть разнообразной – треугольной, четырехугольной, шестиугольной и т.д. Ее название можно определить в зависимости от количества углов, прилегающих к основанию.
Правильной пирамидой называется пирамида, в которой равны стороны основания, углы, и ребра. Также в такой пирамиде будет равна площадь боковых граней.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей всех ее граней:
То есть, чтобы рассчитать площадь боковой поверхности произвольной пирамиды, необходимо найти площадь каждого отдельного треугольника и сложить их между собой. Если пирамида усеченная, то ее грани представлены трапециями. Для правильной пирамиды существует другая формула. В ней площадь боковой поверхности рассчитывается через полупериметр основания и длину апофемы:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания b = 6 см, а апофема a = 8 см. Найдите площадь боковой поверхности.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Для начала найдем его периметр:

Теперь можем просчитать площадь боковой поверхности нашей пирамиды:

Для того чтобы найти полную площадь многогранника, потребуется найти площадь его основания. Формула площади основания пирамиды может отличаться, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании. Для этого используются формулы площади треугольника, площади параллелограмма и т.д.

Рассмотри пример расчета площади основания пирамиды, заданной нашими условиями. Так как пирамида правильная, в ее основании лежит квадрат.
Площадь квадрата рассчитывается по формуле: ,
где a – сторона квадрата. У нас она равна 6 см. Значит площадь основания пирамиды:

Теперь остается только найти полную площадь многогранника. Формула площади пирамиды состоит из суммы площади ее основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Доказательство:

Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

где l - апофема, а p - периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Эта формула читается так:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S полн = S бок + S осн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будет равна сумме площадей ее боковых граней.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Будем исходить из треугольной призмы. Проведем плоскость через вершину A" верхнего основания призмы и противолежащее ребро ВС нижнего основания. Эта плоскость отсечет от призмы треугольную пирамиду A"АВС. Оставшуюся часть призмы разложим на жва тела, проведя плоскость через диагонали A"С и B"C боковых граней. Полученные два тела также являются пирамидами. Считая треугольник A"B"C" основанием одной из них, а С её вершиной, увидим, что её основание и высота такие же, как и у первой отсеченной нами пирамиды, поэтому пирамиды A"АВС и CA"B"C" равновелики. Кроме того, обе новые пирамиды CA"B"C" и A"B"ВС также равновелики - это станет ясным, если примем за их основания треугольники ВСB" и B"CC". Пирамиды CA"B"C" и A"B"ВС имеют общую вершину A", а их основания расположены в одной плоскости и равны, следовательно, пирамиды равновелики. Итак, призма разложена на три равновеликие между собой пирамиды; объем каждой из них равен одной трети объема призмы. Так как форма основания несущественна, то, вообще, объем n-угольной пирамиды равен одной трети объема призмы с той же высотой и тем же (или равновеликим) основанием. Вспоминая формулу, выражающую объем призмы, V=Sh, получим окончательный результат: V=1/3Sh

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

P - периметр основания, l - апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.