Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y

Знак "1" на схеме - от устаревшего обозначения дизъюнкции как ">=1" (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1).

НЕ (инвертор)

x

y

 (x . y)

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Схема И-НЕ состоит из элемента И И.

Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: z =  (x . y), где x . y читается как "инверсия x и y".

ИЛИ-НЕ (элемент Пирса)

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ. c)

F = a · ( b   c)  (a  e · d) · ( a  b · c)

F = a · b · c  a · b · c  a · b · c · d

F = a   a · (b  c)  (  a  d  g) · (b  d) · (c   d  g · h)

§ 8. Логические элементы компьютера. Триггер и сумматор.

Триггер - это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю

Термин триггер происходит от английского слова trigger - защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop , что в переводе означает “хлопанье”. Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Самый распространённый тип триггера - так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set - установка, и reset - сброс).

S0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

хранение бита

S Q

R  Q

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ-НЕ

Если на входы триггера подать S=“1”, R=“0”, то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится “0”. После этого на входах нижнего вентиля окажется R=“0”, Q=“0” и выход  Q станет равным “1”.

Точно так же при подаче “0” на вход S и “1” на вход R на выходе  Q появится “0”, а на Q - “1”.

Если на входы R и S подана логическая “1”, то состояние Q и  Q не меняется.

Подача на оба входа R и S логического “0” может привести к неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта, соответственно, 8 х 2 10 = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

В целях максимального упрощения работы компьютера все многообразие математических операций сводится к сложению двоичных чисел.

Вспомним, что при сложении двоичных чисел образуется сумма в данном разряде, а также возможен перенос в старший разряд.

Слагаемые

Перенос

Сумма

A

B

P

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Из этой таблицы видно, что перенос реализуется с помощью логического элемента «И».

Что касается суммы, то наиболее подходящим логическим элементом является элемент «ИЛИ». Однако при сложении четвертой пары чисел в результате должен получаться 0, а не 1. Для того чтобы достичь необходимого результата, можно подать сигнал переноса на логический элемент «НЕ», а затем с его выхода и выхода элемента «ИЛИ» подать сигнал на элемент «И». На выходе элемента «И» мы получим требуемый сигнал.

A (0,0,1,1) P (0,0,0,1)

B (0,1,0,1)

0,0,0,1 1,1,1,0 S (0,1,1,0)

0,1,1,1

Данная схема называется полусумматором, т.к. реализует суммирование одноразрядных двоичных чисел без учета переноса из младшего разряда.

Сумматор - это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

a i

b i

p i

p i-1

c i

При сложении чисел A и B в одном i -ом разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:

1. цифра a i первого слагаемого;

2. цифра b i второго слагаемого;

3. перенос p i–1 из младшего разряда.

В результате сложения получаются две цифры: цифра c i для суммы; перенос p i из данного разряда в старший.

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами , работа которого может быть описана следующей таблицей истинности:

Входы

Выходы

Первое слагаемое

Второе слагаемое

Перенос

Сумма

Перенос

a i

b i

p i-1

c i

p i

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Многоразрядный двоичный сумматор , предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров .

Например, схема вычисления суммы C = (с 3 c 2 c 1 c 0) двух двоичных трехразрядных чисел A = (a 2 a 1 a 0) и B = (b 2 b 1 b 0), где с 0 – младший разряд суммы, с 3 – старший разряд суммы, может иметь вид:

a 0 a 1 a 2

b 0 b 1 b 2

0 с 3

с 0 с 1 с 2

Таким образом, можно сделать вывод, что логические элементы являются строительными «кирпичиками», из которых путем конструирования логических схем строится «здание» любого современного компьютера.

Вопросы для самоконтроля:

Что изучает логика, математическая логика, алгебра логики?

Дайте определение следующих понятий: высказывание, утверждение, рассуждение, умозаключение, логическое выражение.

Основные логические связки, элементарное и составное высказывания.

Перечислите основные логические операции и способы их записи.

Дайте определение логической формулы.

Объясните смысл следующих понятий: выполнимая логическая формула, тавтология, противоречие, равносильное преобразование формулы.

Запишите формулы замены импликации и эквиваленции на комбинацию остальных основных логических операций.

Понятие таблицы истинности логической формулы. Таблицы истинности элементарных формул.

Что такое упрощение формулы?

Основные законы алгебры логики.

Перечислите и охарактеризуйте основные способы решения логических задач.

Дайте определение логической функции.

Понятие эквивалентных логических функций.

Правило построения логической функции по таблицам истинности.

Определение логического элемента компьютера. Базовые логические элементы.

Триггер и сумматор. Соответствующие таблицы истинности и логические схемы.

«Полученное целое частное меньше 2?»

При выполнении двоичного сложения необходимо придержи­ваться следующего правила: «Цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то единица переносится вле­во в старший разряд», т.е. постоянно нужно анализировать:

«Есть переизбыток?» «Да» «Нет»

Алгебра логики

Алгебра логики появилась в середине XIX в. в трудах англий­ского математика Джорджа Буля. Он пытался решать традицион­ные логические задачи алгебраическими методами.

Логическое высказывание - это любое повествовательное предло­жение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложение «6 - четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное; предложение «Рим - столица Франции» - тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим выс­казыванием.

Высказываниями не являются, например, предложения: «Сту­дент 204 группы», «Здравствуйте!», «В колледже более 1000 уча­щихся», «Хороший студент», - так как невозможно судить об их истинности или ложности (или нужны дополнительные сведения, чтобы предложение стало высказыванием, например: «Петров - хороший студент» или «в колледже № 15 г. Самары более 1000 учащихся»).

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным.

Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказы­вания. Например, высказывание «Площадь поверхности Индий­ского океана равна 75 млн км 2 » в одной ситуации можно посчи­тать ложным, а в другой - истинным (ложным - так как указан­ное значение неточное и вообще не является постоянным; истин­ным - если рассматривать его как некоторое приближение, прием­лемое на практике).

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые. Такие слова и слово­сочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с по­мощью логических связок, называются составными. Высказыва­ния, не являющиеся составными, называются элементарными. Например, из элементарных высказываний «Иванов - студент», «Иванов - отличник» при помощи связки и можно получитьсоставное высказывание «Иванов - студент и отличник».

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назнача­ют имена. Пусть через А обозначено высказывание «Иван поедет летом на море», а через В - высказывание «Иван летом отправится в горы». Тогда составное высказывание «Иван летом побывает и на море, и в горах» можно записать кратко: «А И В». Здесь И - логическая связка; А, В - логические переменные, которые могут принимать только два значения: «истина» и «ложь», обознача­емые соответственно 1 и 0.

В алгебре высказывания обозначаются именами логических пе­ременных, которые могут принимать лишь два значения: «исти­на» (1) и «ложь» (0).

Рассмотрим операции, которые можно производить с логиче­скими высказываниями.

Операция отрицания. Операция, выражаемая словом НЕ, назы­вается отрицанием, или инверсией, и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание А истинно, когда А ложно, и лож­но, когда А истинно. Например: «Луна - спутник Земли» (А); «Луна - не спутник Земли» (А).

Пусть А = «Два умножить на два равно четырем» - истинное высказывание, тогда высказывание, образованное с помощью опе­рации логического отрицания - «Два умножить на два не равно четырем», - ложное высказывание.

Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицани­ем А:

Истинность такого высказывания задается таблицей истинно­сти функции логического отрицания (табл. 2.6).

Таблица 2.6 Таблица истинности функции логического отрицания

Операция конъюнкции.

Операция, выражаемая связкой И, на­зывается соединением, или конъюнкцией, или логическим ум­ножением, и обозначается знаком «&» (может обозначаться зна­ком «л» или « »). Высказывание F = А&В истинно только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание «10 делится на 2 И 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 И 5 не больше 3», «10 не делится на 2 И 5 больше 3», «10 не делится на 2 И 5 не больше 3» ложны.

Значение логической функции F можно определить с помо­щью таблицы истинности данной функции, которая показьйает, какие значения принимает логическая функция при всех возмож­ных наборах ее аргументов (табл. 2.7).

Таблица 2.7

Таблица истинности функции логического умножения

Рассмотрим, например, составное высказывание «2 2 = 4 И 3 *3 = 10». Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0). По табл. 2.7 определяем, что логиче­ская функция принимает значение «ложь» (F = 0), т.е. данное со­ставное высказывание ложно.

Операция дизъюнкции. Операция, выражаемая связкой ИЛИ, называется разделением, или дизъюнкцией (от лат. disjunctio - разделение), или логическим сложением, и обозначается знаком «v» (или «+»). Высказывание F = A v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание «10 не делится на 2 ИЛИ 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 ИЛИ 5 больше 3», «10 делится на 2 ИЛИ 5 не больше 3», «10 не делится на 2 ИЛИ 5 больше 3» истинны.

Функцию F можно определить с помощью таблицы истинно­сти, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов (табл. 2.8).

Таблица 2.8

Таблица истинности функции логического сложения

Операция импликации. Операция следования, выражаемая связками «если..., то», «из... следует», «... влечет...», называется импликацией и обозначается знаком «->». Высказывание А-> В лож­но тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере следующих высказыва­ний: «Данный четырехугольник - квадрат» (А) и «Около данного четырехугольника можно описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание F = А-»В, под которым понимается: «Если данный четырехугольник - квадрат; то около него можно опи­сать окружность».

Существуют три варианта, когда высказывание А-*В истинно:

1) А истинно и В истинно, т.е. данный четырехугольник - квадрат и около него можно описать окружность;

2) А ложно и В истинно, т. е. данный четырехугольник не явля­ется квадратом, но около него можно описать окружность (разу­меется, это справедливо не для всякого четырехугольника);

3) А ложно и В ложно, т. е. данный четырехугольник не являет­ся квадратом и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т.е. данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя опи­сать окружность.

Функцию F можно определить, используя таблицу истинности (табл. 2.9): F = A^B

Таблица 2.9

Таблица истинности логической функции импликации

Операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то независимо от истинности или ложно­сти второго высказывания (вывода) составное высказывание истин­но. Из неверной предпосылки может следовать что угодно.

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логи­ческому умножению, логическому сложению и логическому от­рицанию.

Докажем методом сравнения таблиц истинности, что операция импликации А-> В равносильна логическому выражению A v В (табл. 2.10).

Таблица 2.10

Таблица истинности логического выражения A v В

Табл. 2.10 полностью совпадает с табл. 2.9.

Операция эквиваленции. Операция равенства, выражаемая связ­ками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «...рав­носильно...», называется эквиваленцией, или двойной имплика­цией, и обозначается знаками «<-»» или «~». Высказывание А <-> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, истинны высказывания: «24 делится на 6 тогда и толь­ко тогда, когда 24 делится на 3», «23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» - и ложны высказывания: «24 де­лится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5», «21 делит­ся на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3».

Высказывания А и В, образующие составное высказывание F = А<-»В, могут быть совершенно не связаны по содержанию.

Составное высказывание F = А<-> В имеет таблицу истинности (табл. 2.11).

Таблица 2.11

Таблица истинности составного высказывания А<->В

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Эквивалентность можно выразить через следующие логические функции:

F=AoB = (AvB)&(BvA).

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились счи­тать, что сначала выполняется операция отрицания (НЕ), затем - конъюнкции (И), затем дизъюнкции (ИЛИ) и в последнюю оче­редь - импликации. Такая последовательность называется при­оритетом операций.

2.2.2. Основные законы алгебры логики

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих произво­дить равносильные преобразования логических выражений.

1. Закон двойного отрицания:

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

Для логического сложения

A v В = В v А;

Для логического умножения

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. В обычной алгебре a + b = b + a;a-b = b-a.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

Для логического сложения

(A v В) v С = A v (В v С);

Для логического умножения

(А&В)&С = А&(В&С).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или опускать.

В обычной алгебре (а + Ь) + с = а + (Ь + с) = а + b + с;

(а Ь) ■ с = а (Ь с) = а b с.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

Для логического сложения

(A v В) & С = (А&С) v (B&C);

Для логического умножения
(А&В) v С = (A v C)&(B v С).

Данный закон определяет правило выноса общего высказыва­ния за скобку.

В обычной алгебре справедлив распределительный закон толь­ко для сложения: (а + Ь) с = а с + b с.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

Для логического сложения

Для логического умножения

6. Закон идемпотентности (от лат. idem - тот же самый + potens -сильный (дословно - равносильный)):

Для логического сложения

Для логического умножения

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Закон исключения констант:

Для логического сложения

Avl = l;AvO = A;

Для логического умножения

А&1 = А; А&0 = 0.

8. Закон противоречия:

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были од­новременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же пред­мете одно всегда истинно, а второе - ложно; третьего не дано.

10. Закон поглощения:

Для логического сложения:

Для логического умножения

А&(А v В) = А.

11. Закон исключения (склеивания):

Для логического сложения

(A&B)v(A&B) = B;

Для логического умножения

(AvB)&(AvB) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(А*+В) = (ВвА).

Справедливость приведенных законов можно доказать табли-цным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что значения в результирующих столбцах совпадут.

Пример 1. Найдите X, если XvAvXvA=B.

Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания:

(Х&А) v (Х&А).

Согласно распределительному закону для логического сложе­ния

Согласно закону исключения третьего и закона исключения констант

Х&1 = X. Полученную левую часть приравняем правой:

Окончательно получим: X = В.

Пример 2. Упростите логическое выражение (AvBvC)&

&А v В v С. Правильность упрощения проверьте с помощью таб­лиц истинности для исходного и полученного логических выра­жений.

Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону де Моргана) и закону двойного отрицания

(A v В v C)&A v В v С = (A v В v С)&(А&В&С).

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения

(A v В v С)&(А&В&С) = (А&А) v (В&А) v (С&А) v (A&B) v v (B&B) v (C&B) v (А&С) v (В&С) v (С&С).

Согласно закону противоречия »

(А&А) = 0; (С&С) = 0.

Согласно закону идемпотентности

Подставляем значения и, используя переместительный (ком­мутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:

О v (A&B) v (A&B) v В v (C&B) v (C&B) v (C&A) v (A&C) v 0.

Согласно закону исключения (склеивания)

(A&B) v (А&В) = В; (C&B) v (C&B) = В.

OvBvBvBv (C&A) v (A&C) v 0.

Согласно закону исключения констант для логического сложе­ния и закону идемпотентности

Подставляем значения и получаем:

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения

(C&A) v (А&С) = (С v А) & (С v С) & (A v A) & (A v С). Согласно закону исключения третьего

(CvC) = l;(AvA) = l. Подставляем значения и окончательно получаем:

Решение логических задач способствует развитию абстрактно­го мышления, тренирует память и развивает логику.

2.2.3. Логические основы устройства компьютера

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для опи­сания того, как функционируют аппаратные средства компьюте­ра, поскольку основной системой счисления в компьютере явля­ется двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: 1 (true) и 0 (false).

Из этого следует два вывода:

Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представлен­ной в двоичной системе счисления, так и логических перемен­ных.

На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логи­ки позволяет значительно упростить логические функции, опи­сывающие функционирование схем компьютера, и, следователь­но, уменьшить число элементарных логических элементов, из де­сятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Логический элемент компьютера - это часть электронной логи­ческой схемы, которая реализует элементарную логическую функ­цию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями), а также триггер. С помощью этих схем можно реали­зовать любую логическую функцию, описывающую работу уст­ройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Чтобы представить два логических состояния 1 и 0 в вентилях, соответствующие им входные и вы­ходные сигналы имеют один из двух установленных уровней на­пряжения. Например: 5 и О В.

Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» (1), а низкий - значению «ложь» (0).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначе­ние, которое выражает его логическую функцию, но не указыва­ет на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности (аналогично таблицам истинности функций).

Рассмотрим структурные схемы логических элементов компь­ютера и их таблицы истинности (табл. 2.12).

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. На выходе схемы И будет 1 тогда и только тогда, когда на всех входах будут 1. Когда хотя бы на одном входе будет 0, на выходе также будет 0;

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном из выходов схемы или будет 1, на ее выходе тоже будет 1;

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь Между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотно­шением z= х. Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на Входе 1, то на выходе 0;

Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществ­ляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и выхо­дами х и у схемы записывают следующим образом: z = х & у;

Таблица 2.12

Структурные схемы логических элементов компьютера и их таблицы истинности

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и оС уществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Связь между вы­ходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом: z = xVy.

Триггер

Важнейшей структурной единицей оперативной памяти ком­пьютера, а также внутренних регистров процессора, является триг­гер. Это устройство позволяет запоминать, хранить и считывать информацию (каждый триггер может хранить 1 бит информации).

Триггер можно построить их двух логических элементов ИЛИ и двух элементов НЕ (рис. 2.3, а). Им соответствует таблица истин­ности (табл. 2.13).

Самый распространенный тип триггера - RS -триггер (от англ. set - установка + reset - сброс). Он имеет два симметричных вхо­да R и S и два симметричных выхода Q и Q. На каждый из двух выходов могут подаваться входные сигналы в виде импульсов (на­личие импульса на входе будем считать единицей, а его отсут­ствие - нулем). В обычном состоянии на входы R и S триггера подан сигнал 0 и триггер хранит 0. Для записи 1 на вход S (устано­вочный) подается сигнал 1. Последовательно рассмотрев прохож­дение сигнала по схеме, видно, что триггер переходит в СОСТОЯ­ВШИ"

Рис. 2.3. Схема триггера: а - на элементах ИЛИ и НЕ; б - на элементах ИЛИ-НЕ

Таблица 2.13 Таблица истинности

ние «1» и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе S исчезнет. Триггер запомнил 1, т.е. с выхода триггера Q можно считать 1.

Для того чтобы сбросить информацию и подготовиться к при­ему новой, подается сигнал 1 на вход R (сброс), после чего триггер возвращается к исходному (нулевому) состоянию. Если на входы R и S подана логическая 1, то состояние Q и Q не меняется, подача на оба входа логического 0 может привести к неординарному ре­зультату, и поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

На рис. 2.3, б показана реализация триггера с помощью венти­лей ИЛИ-НЕ.

2.2.5. Сумматор двоичных чисел

В целях максимального упрощения работы компьютера все мно­гообразие математических операций в процессоре сводится к сло­жению двоичных чисел, поэтому важным элементом процессора является сумматор, который и обеспечивает такое сложение.

При сложении двоичных чисел образуется сумма в текущем разряде; при этом возможен перенос единицы в старший разряд. Обозначим слагаемые - А, В, перенос - Р и сумму - S.

Таблица 2.14

Таблица сложения одноразрядных двоичных чисел

Из табл. 2.14 видно, что перенос единицы можно реализовать с помощью операции логического умножения:

где Р - перенос; А и В - множители.

Для определения суммы можно применить следующее выраже­ние:

S = (AvB)&(A&B).

Построим таблицу истинности для данного логического выра­жения и убедимся в правильности нашего предположения (табл. 2.15).

Таблица 2.15

Таблица истинности функции F = (A v В) & (А & В)

Рис. 2.4. Схема полусумматора двоичных чисел

На основе полученных логических выражений можно постро­ить схему полусумматора на базовых логических элементах.

По логической формуле переноса легко определить, что для по­лучения переноса необходимо использовать логический элемент И.

Анализ логической формулы для суммы показывает, что на выходе должен стоять элемент логического умножения И, кото­рый имеет два входа. На один из входов подается результат логи­ческого сложения исходных величин A v В, т. е. на него должен подаваться сигнал с элемента логического сложения ИЛИ.

На второй вход требуется подать результат инвертированного логического умножения исходных сигналов А&В, т.е. на второй вход подается сигнал с элемента НЕ, на вход которого поступает сигнал с элемента логического умножения И (рис. 2.4).

Данная схема называется полусумматором, так как реализует суммирование одноразрядных двоичных чисел без учета переноса из младшего разряда.

Контрольные вопросы

1. Связано ли появление алгебры логики с разработкой персонально­го компьютера?

2. Назовите основные логические операции.»

3. Приведите примеры предложений, которые не являются логиче­ским высказыванием.

4. Покажите связь между алгеброй логики и двоичным кодированием информации.

5. Какой логический элемент нужно поставить в старший разряд, что­бы запомнить целое отрицательное число -5?

6. Назовите приоритеты логических операций.

7. Сформулируйте отрицание следующих высказываний: «2 > 5»;
«10 < 7»; «а = 2».

8 Изобразите в декартовой системе координат области (|х| < 1) и

9. Определите истинность составного высказывания «(А & В) & (С v D)»,
состоящего из простых высказываний: А = «Принтер - устройство выво­
да информации», В = «Процессор - устройство хранения информации»,
С = «Монитор - устройство вывода информации», D = «Клавиатура -
устройство обработки информации».

10.Докажите, используя таблицы истинности, что операция эквива­лентности равносильна логическим выражениям А <-» В = (А & В) v (А & В) и A<->B = (AvB)&(AvB).

11.Докажите, используя таблицы истинности, что логические выра­жения A v В и А & В равносильны.

12.Какие логические функции двух аргументов имеют свои названия?

13.Какое существует число логических функций трех аргументов?

14.Упростите следующие логические выражения:

(AvA)&B; A&(AvB)&(BvB).

15. Приведите примеры из повседневной жизни:

если (не а и не Ь), то (с или d); (а или Ь) тогда и только тогда, когда (с или не d).

16.Проследите на логической схеме триггера, что происходит при поступлении сигнала 1 на вход R.

17.Какое число базовых логических элементов необходимо для хране­ния 512 Мбайт информации?

Алгебра логики - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине 19в. в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Логическое высказывание -это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно или ложно. Так например, предложение "6- четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим- столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием.

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную или становится высказыванием, когда все переменные замешаются своими значениями. Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения- является оно ли истинным или ложным. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. компьютер счисление электронный вычислительный

Высказывания, образованныеиз других высказываний с помощью логических связок,называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначения:

• 1. Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием.
• 2. Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюкцией (от лат.-соединение) или логическим умножением и обозначается точкой.
• 3. Операция, выражаемая связкой "или",называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается плюсом+.
• 4. Операция, выражаемая связками "если...., то", "из... слудует", "...влечет...", называется импликацией и обозначается знаком>.
• 5. Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком -.

Что такое логическая формула.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е заменить формулой. Дадим определение логической формуле:

• 1. Всякая логическая переменная и символы "истинна" ("1") и ложь ("0")- формулы.
• 2. Если А и В - формулы, то А, (А*В), (А+В), (А>В),(А-В) - формулы.
• 3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

В пункте 1 определены элементарные формулы , в пункте 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

Что такое логический элемент компьютера.

Логический элемент компьютера - часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями ), а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Чтобы представить два логических состояния "1" и "0" в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению "истина" ("1"), а низкий- значению "ложь" (0). Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности- это табличное представление логической схемы, в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов вместе со значением истинности выходного сигнала для каждого из этих сочетаний.

Что такое схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

1)Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено, а таблица истинности - в таблице 1

Таблица 1

• 3)Схема НЕ(инвертор) реализует операцию отрицания.
• 4)Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И.

Что такое триггер.

Триггер- Это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надежного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое - двоичному нулю.

Термин "триггер" происходит от английского слова ТРИГГЕР-защелка, спусковой крючок. Самый распространенный тип триггера - так называемый РС - триггер. Он имеет 2 симметричных входа С и Р.

Что такое сумматор.

Сумматор- это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит прежде всего центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и других устройствах машины. Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядовых двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядовых сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнем. Одноразрядовый двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами,работа которого может быть описана следующей таблицей истинности:

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причем для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Что такое переключательная схема.

Переключательная схема- это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а так же из входов и выходов, на которые подается и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую. Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей. При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы .

Синтез схемы по заданным условиям ее работы сводится к следующим трем этапам:

• -составление функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
• -упрощение этой функции;
• -построение соответствующей схемы.

Анализ схемы сводится к:

• -определению значений ее функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных;
• -получению упрощенной формулы.

Решение логических задач.

Разнообразие логических задач очень велико. Способов решения тоже не мало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач: средствами алгебры логики; табличный; с помощью рассуждений.

Решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:-изучается условие задачи;

• -вводится система обозначений для логических высказываний;
• -конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
• -определяются значения истинности этой логической формулы;
• -из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введенных логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Общие понятия n ЛОГИКА - это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений. n Математическая логика одна из областей общей логики, развиваемая применительно к потребностям математики (и вычислительной техники). В ее составе: логика высказываний (исчисление высказываний; алгебра логики; булева алгебра). логика предикатов (исчисление предикатов). метаматематика (изучение аксиоматического построения наук, в частности той же математики).

ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ n ЛОГИКА - это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений. n Логика изучает мышление как средство познания объективного мира. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны. Идеи и аппарат логики используется в кибернетике, вычислительной технике и электротехнике (построение компьютеров основано на законах математической логики). В основе логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат, использующий законы логики. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции. n n n

Основные формы мышления Основными формами мышления являются: ПОНЯТИЯ, СУЖДЕНИЯ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ. ПОНЯТИЕ форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного объекта или класса однородных объектов. Примеры: портфель, трапеция, ураганный ветер. Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. Например, содержание понятия «персональный компьютер» можно раскрыть следующим образом: «Персональный компьютер - это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя» . Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров. СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, в которой что либо утверждается или отрицается об объектах, их свойствах и отношениях. Суждениями обычно являются повествовательными предложениями, которые могут быть или истинными или ложными. «Берн - столица Франции» , «Река Кубань впадает в Азовское море» , « 2>9» , « 3× 5=10» УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем новое суждение (заключение). Все металлы - простые вещества. Литий - металл. → Литий - простое вещество. Один из углов треугольника равен 90º. → Этот треугольник прямоугольный.

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ n В основе работы логических схем и устройств персонального компьютера лежит специальный математический аппарат математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции. n Английский математик Джордж Буль (1815 - 1864 г.) создал логическую алгебру, в которой высказывания обозначены буквами. Сочинение Джорджа Буля, в котором подробно исследовалась эта алгебра, было опубликовано в 1854 г. Оно называлось «Исследование законов мысли» («Investigation of the Laws of Thought»). Отсюда ясно, что Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления, то есть законов логики. Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В математической логике суждения называются высказываниями.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно или истинно или ложно. Например: Земля - планета Солнечной системы. (Истинно) 2+8

Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание Некоторые высказывания можно разложить на отдельные части, при этом каждая такая часть будет самостоятельным высказыванием. Например, высказывание “Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток” состоит из 2 частей. Высказывание может состоять и из большего количества частей. Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым. Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний логическими связками - НЕ, И, ИЛИ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок. Например, даны простые высказывания: На улице идет дождь. На улице светит солнце. На улице пасмурная погода. Составим из них сложные высказывания: На улице идет дождь и на улице светит солнце. На улице светит солнце или на улице пасмурная погода. Неверно что на улице идет дождь.

n n n В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0. Простые высказывания назвали логическими переменными и для простоты записи их обозначают латинскими буквами: А, В, С… Луна является спутником Земли. А = 1 Москва – столица Германии. В = 0 Сложные высказывания называются логическими функциями. Значения логической функции также может принимать значения только 0 или 1.

n Аргументы логических функций - двоичные величины. Логические функции могут быть заданы: аналитически (формулы с использованием специальных символов); таблично; графически (геометрически; используется эта форма редко обычно для количества аргументов не более 3). n

БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Логические связки И, ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями: конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию.

1. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (ОТРИЦАНИЕ) Ш Ш Ш соответствует частице НЕ обозначается черточкой над именем переменной или знаком ¬ перед переменной Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. Таблица истинности инверсии имеет вид: A 0 1 1 0

2. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ) Ш соответствует союзу ИЛИ Ш обозначается знаком или ║ Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией. А В С =0, только если А=0, В=0, С=0. Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид: Ш v + v v A B АVВ 0 0 1 1 1 0 1 1

3. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ) Ш Ш Ш соответствует союзу И обозначается знаком & или Λ, или · Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных конъюнкцией. А & В & С=1, только если А=1, В=1, С=1. Таблица истинности конъюнкции имеет следующий вид: A B А&В 0 0 1 1 1

ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ n Сложные высказывания можно записывать в виде формул. Для этого простые логические высказывания нужно обозначить как логические переменные буквами и связать их с помощью знаков логических операций. Такие формулы называются логическими выражениями. Например: n Чтобы определить значение логического выражения необходимо подставить значения логических переменных в выражение и выполнить логические операции. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1. инверсия; 2. конъюнкция; 3. дизъюнкция; 4. импликация и эквивалентность. Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

Таблицы истинности Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных). n При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий: 1) записать выражение и определить порядок выполнения операций 2) определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение (определяется по формуле. Q=2 n , где n количество входных переменных) 3) определить количество столбцов в таблице истинности (= количество логических переменных + количество логических операций) 4) построить таблицу истинности, обозначить столбцы (имена переменных и обозначения логических операций в порядке их выполнения) и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных. 5) заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных. n

Например, построим таблицу истинности для логической функции: Количество входных переменных в заданном выражении равно трем (A, B, C). Значит, количество входных наборов, а значит и строк Q=23=8. Количество столбцов равно 6 (3 переменные + 3 операции). Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A, B, C, промежуточных результатов и (B V C), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения

A B C BVC 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Задание. Постройте таблицу истинности для данного логического выражения:

А В 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак =. Например:

ЗАПИСЬ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ПО ТАБЛИЦЕ ИСТИННОСТИ Правила построения логического выражения: 1. Для каждой строки таблицы истинности с единичным значением функции построить минтерм. Минтермом называется произведение, в котором каждая переменная встречается только один раз - либо с отрицанием, либо без него. Переменные, имеющие нулевые значения в строке, входят в минтерм с отрицанием, а переменные со значением 1 - без отрицания. 2. Объединить все минтермы операцией дизъюнкция (логическое сложение), что даст стандартную сумму произведений для заданной таблицы истинности.

X 2 X 3 F 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 Построим логическое выражение для F. Найдем строки, в которых F=1. Это вторая, третья и шестая. X 1 1 Пример. Дана таблица истинности: 1 1 0 Для второй строки X 1=0, Х 2=0, X 3=1. Эту строку описывает минтерм Для третьей строки X 1=0, Х 2=1, X 3=0. Эту строку описывает минтерм Для шестой строки X 1=1, X 2=0, X 3=1. Эту строку описывает минтерм Объединяя термы, получим булево выражение F = В это выражение вошли термы произведения для строк с единичным значением функции F, а вся сумма соответствует совокупности из трех строк. Для остальных пяти наборов значений входных переменных это выражение равно нулю.

Логические функции n n Любое логическое выражение (составное высказывание) можно рассматривать как логическую функцию F(X 1, X 2, . . . , Xn) аргументами которой являются логические переменные X 1, X 2, . . . , Хn (простые высказывания). Сама функция как и аргументы могут принимать только два различных значения: «истина» (1) и «ложь» (0). Выше были рассмотрены функции двух аргументов: логическое умножение F(A, B) = A&B, логическое сложение F(A, B) = AVB, а также логическое отрицание F(A) = ¬А, в котором значение второго аргумента можно считать равным нулю. Каждая логическая функция двух аргументов имеет четыре возможных набора значений аргументов. Может существовать N = 24 = 16 различных логических функций двух аргументов. Таким образом, существует 16 различных логических функций двух аргументов, каждая из которых задается своей таблицей истинности:

Аргументы Логические функции А В F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 Легко заметить, что здесь логическая функция F 2 является функцией логического умножения, F 8 - функцией логического сложения, F 13 - функцией логического отрицания для аргумента А и F 11 - функцией логического отрицания для аргумента В. F 1(A, B) = 0 константа нуль, F 16(A, B) = 1 константа единица. F 4=A, F 6=B, F 7 – сложение по модулю 2, F 10 – эквивалентность. F 9 – инвертированная дизъюнкция (стрелка Пирса), F 15 – инвертированная конъюнкция (штрих Шеффера), F 14 – импликация.

ИМПЛИКАЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ). n n n Импликация двух высказываний А и В соответствует союзу «ЕСЛИ…ТО» . Она обозначается символом → Запись А → В читается как «из А следует В» В обычной логике это очень важная функция. Она отражает причинно следственную связь, хотя и не строгую. Говорят «х1 имплицирует (влечет) х2» Импликация двух высказываний истинна всегда, кроме случая, если первое высказывание истинно, а второе ложно. Таблица истинности импликации двух суждений А и В такова: А В А→В 0 0 1 1 1 В программировании эту операцию обозначают «IMP» .

Src="https://сайт/presentation/-76620620_344623301/image-26.jpg" alt="ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО, ФУНКЦИЯ ТОЖДЕСТВА) n n Она обозначается символами ≡ или . ("> ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО, ФУНКЦИЯ ТОЖДЕСТВА) n n Она обозначается символами ≡ или. («тогда и только тогда»). Запись А ≡ В читается как «А эквивалентно В» . Эквивалентность двух высказываний истинна только в тех случаях, когда оба высказывания ложны или оба истинны. Таблица истинности эквивалентности двух суждений А и В такова: А В А≡В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 В программировании эту операцию обозначают «EQV» . В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путём логических преобразований к трём базовым логическим операциям: инверсии, дизъюнкции и конъюнкции

Логические законы и правила преобразования логических выражений Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Законы логики отражают наиболее важные закономерно сти логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с законами логики. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям. Перечислим наиболее важные из них:

1. Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе: Этот закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует. 2. Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А - истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно: Закон непротиворечия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”

3. Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означа ет, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина: Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно, либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание. 4. Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать неко торое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание: Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого нибудь высказывания то же, что утверждать это высказывание. “ Неверно, что 2× 2¹ 4”

5. Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых «сомножителей» равносильна одному из них: Дизъюнкция одинаковых «слагаемых» равносильна одному: 6. Законы де Моргана: Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806 1871) шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках: отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых; отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.

. 7 Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказыва ний можно менять местами логические переменные при опе рацияхлогического умножения и логического сложения: Логическое умножение: Логическое сложение: . 8 Правило ассоциативности. Если в логическом выраже нии используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пре небрегать скобками или произвольно их расставлять: Логическое умножение: Логическое сложение:

9. Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгеб ры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки, как общие множители, так и общие слагаемые: Дистрибутивность умножения относительно сложения: Дистрибутивность сложения относительно умножения: 10. 11. 12. Законы поглощения:

ЗАДАЧА 1. Разбирается дело Лёнчика, Пончика и Батончика. Кто то из них нашел и утаил клад. На следствии каждый из них сделал по два заявления. Батончик: «Я не делал этого. Пончик сделал это» Лёнчик: «Пончик не виновен. Батончик сделал это» Пончик: «Я не делал этого. Лёнчик не делал этого» Суд установил, что один из них дважды солгал, другой - дважды сказал правду, третий - один раз солгал, один раз сказал правду. Кто утаил клад? Решение: Введём обозначения: Б –клад утаил Батончик, П клад утаил Пончик, Л клад утаил Лёнчик. Рассмотрим три возможных варианта – виноват Батончик, виноват Пончик, виноват Лёнчик. При таких вариантах получаем следующие значения высказываний трёх обвиняемых. Высказывания Батончика Возможные варианты Высказывания Лёнчика Высказывания Пончика Соответствие условию задачи Б Л П ¬Б П ¬П Б ¬П ¬Л 1 0 0 1 1 - 0 0 1 1 1 0 0 0 1 + 0 1 0 1 0 - В первом варианте один солгал дважды, а двое сказали правду дважды, что не соответствует условию задачи. В третьем варианте все один раз сказали правду и один раз солгали, что также не соответствует условию задачи. Во втором варианте один дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий один раз сказал правду, а один раз солгал, что соответствует условию задачи. Следовательно клад утаил Пончик.

Задача 2. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? Решение: Введём обозначения: Н 1 – Наташа на 1 месте, М 2 – Маша на 2 месте, Л 2 – Люда на 2 месте, Р 4 – Рита на 4 месте, Р 3 – Рита на 3 месте, Н 2 – Наташа на 2 месте. Занесём возможные варианты высказываний трёх болельщиков в таблицу с учётом того, что каждый из болельщиков оказался прав только в одном из своих прогнозов: Высказывания 1 -ого болельщика Высказывания 2 -ого болельщика Соответствие условию задачи Н 1 М 2 Л 2 Р 4 Р 3 Н 2 0 1 0 1 - 0 1 1 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 - 1 0 0 1 - 1 0 1 0 + Из анализа таблицы видно, что условию задачи соответствует только последняя строка, значит первое место заняла Наташа, второе – Люда, третье – Рита, а Маша –четвёртое.

Задача 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? Решение: Введём обозначения: ВК – Вадим изучает китайский язык, СК – Сергей изучает китайский язык, МА Михаил изучает арабский язык. Занесём в таблицу возможные варианты значений высказываний с учётом условия задачи, что одно из утверждений верно, а два ложны: ВК ¬ СК ¬ МА ВК СК МА Соответствие условию задачи 1 0 0 1 1 1 - 0 0 1 0 + 0 1 0 0 0 1 - Возможные варианты высказываний Проанализируем строки в трёх последних столбцах. Условию задачи соответствует только вторая строка, значит Сергей изучает китайский язык, Михаил – японский (так как он не изучает арабский), тогда Вадим изучает арабский язык.

Задача 4. Три одноклассника - Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего - регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра - единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия. Решение: Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя - профессия - увлечение). Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист. Имя Юра Профессия врач Увлечение туризм Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач - Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени - Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем: Имя Юра Тимур Влад Профессия физик врач юрист Увлечение бег туризм регби Ответ. Влад - юрист и регбист, Тимур - врач и турист, Юра - физик и бегун.

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула 1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок. - Вот увидишь, Шумахер не придет первым, - сказал Джон. Первым будет Хилл. - Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, - воскликнул Ник. - А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым. Питер, к которому обратился Ник, возмутился: - Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину. По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки? Задача 2. В спортивных соревнованиях принимали участие пять команд: "Вымпел", "Метеор", "Нептун", "Старт" и "Чайка". Об их итогах соревнования имеется пять высказываний: 1) Второе место занял "Вымпел", a "Cтарт" оказался на третьем. 2) Хорошо выступала команда "Нептун", она стала победителем, а "Чайка" вышла на второе место. 3) Да нет же, "Чайка" заняла только третье место, а "Нептун" был последним. 4) Первое место по праву завоевал "Cтарт", а "Метеор" был 4 м. 5) Да, "Метеор", действительно, был четвертым, а "Вымпел" был 2 м. Известно, что команды не делили места между собой и что в каждом высказывании одно утверждение правильное, а другое нет. Как распределились места между командами? Задача 3 Три дочери писательницы Дорис Кей - Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств - пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда - не в Риме; парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица; Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Логические элементы В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная Дж. Булем. Знания из области математической логики можно использовать для конструирования различных электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого то предмета нашего мира, условно называемых "ложь" и "истина". Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток. Были созданы устройства управления электричеством электронные схемы, состоящие из набора полупроводниковых элементов. Такие электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока стали называть логическими элементами. Логические элементы - это электронные устройства, которые преобразуют проходящие через них двоичные электрические сигналы по определенному закону. Логические элементы имеют один или несколько входов, на которые подаются электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если отсутствует электрический сигнал, и 1, если имеется электрический сигнал. Также логические элементы имеют один выход, с которого снимается преобразованный электрический сигнал. Было доказано, что все электронные схемы компьютера могут быть реализованы с помощью трёх базовых логических элементов И, ИЛИ, НЕ.

Логический элемент НЕ (инвертор) Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания (инверсию). У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается: Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот. вход выход 1 0 0 1

Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается: Если хотя бы на один вход поступает сигнал 1, то на выходе будет сигнал 1. вход 1 вход 2 выход 0 0 1 1 1 0 1 1

Логический элемент И (конъюнктор) Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается: На выходе этого элемента будет сигнал 1 только в том случае, когда на все входы поступает сигнал 1. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль. выход вход 1 вход 2 0 0 1 1 1 Другие логические элементы построены из трех простейших базовых элементов и выполняют более сложные логические преобразования информации.

Рассмотрим еще два логических элемента, которые играют роль базовых при создании более сложных элементов и схем. Логический элемент И-НЕ выполняет логическую функцию штрих Шеффера (И-НЕ), он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается: вход 1 вход 2 выход 0 0 1 1 1 0 Логический элемент ИЛИ-НЕ выполняет логическую функцию стрелка Пирса (И-НЕ), он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается: вход. 1 вход 2 выход 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Функциональные схемы Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов - функциональные схемы. Функциональная (логическая) схема – это схема, состоящая из логических элементов, которая выполняет определённую функцию. Анализируя функциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, т. е. дать ответ на вопрос: какую функцию она выполняет. Важной формой описания функциональных схем является структурная формула. Покажем на примере, как выписывают формулу по заданной функциональной схеме. Ясно, что элемент “И” осуществляет логическое умножение значений ¬А и В. Над результатом в элементе “НЕ” осуществляется операция отрицания, т. е. вычисляется значение выражения: Таким образом структурной формулой данной функциональной схемы является формула:

Таблица истинности функциональной схемы Для функциональной схемы можно составить таблицу истинности, то есть таблицу значений сигналов на входах и выходах схемы, по которой можно понять какую функцию выполняет данная схема. Таблица истинности - это табличное представление логической (функциональной) схемы в котором перечислены все возможные сочетания значений входных сигналов вместе со значением выходного сигнала для каждого из этих сочетаний. Составим таблицу истинности для данной логической схемы: Начертим таблицу: количество столбцов = количество входов + количество выходов, количество строк = 2 количество входов. В данной таблице 3 столбца и 4 строки. Заполним первые столбцы всеми возможными вариантами входных сигналов А (вход 1) В (вход 2) 0 0 0 1 1 С (выход)

Рассмотрим первый вариант входных сигналов: А=0, В=0. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=1), запишем в таблицу. Рассмотрим второй вариант входных сигналов: А=0, В=1. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=0), запишем в таблицу. Рассмотрим третий вариант входных сигналов: А=1, В=0. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=1), запишем в таблицу.

Рассмотрим четвёртый вариант входных сигналов: А=1, В=1. Проследим по схеме, как проходят и преобразуются входные сигналы. Результат, полученный на выходе (С=1), запишем в таблицу. В результате получаем таблицу истинности данной логической схемы: А (вход 1) В (вход 2) С (выход) 0 0 1 0 1 1 1 1 Задание. Построить таблицу истинности для данной логической схемы и записать формулу для данной схемы:

Логическая реализация типовых устройств компьютера Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в состав процессора входит так называемое арифметико логическое устройство (АЛУ). Оно состоит из ряда устройств, построенных на рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких устройств являются триггеры, полусумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры. Выясним, как из логических элементов разрабатываются логические устройства.

Этапы конструирования логического устройства. Конструирование логического устройства состоит из следующих этапов: 1. Построение таблицы истинности по заданным условиям работы проектируемого узла (т. е. по соответствию его входных и выходных сигналов). 2. Конструирование логической функции данного узла по таблице истинности, ее преобразование (упрощение), если это возможно и необходимо. 3. Составление функциональной схемы проектируемого узла по формуле логической функции. После этого остается только реализовать полученную схему.

Задание. Построить логическую схему для заданной таблицы истинности: С F 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 Построим логическую схему для данного выражения: В 0 Упростим полученное логическое выражение: А 0 Запишем логическую функцию по данной таблице истинности: 1 0 0 1 1

Попробуем, действуя по этому плану, сконструировать устройство для сложения двух двоичных чисел (одноразрядный полусумматор). Пусть нам необходимо сложить двоичные числа А и В. Через P и S обозначим первую и вторую цифру суммы: A + B = PS. Вспомните таблицу сложения двоичных чисел. 1. Таблица истинности, определяющая результат сложения, имеет вид: Слагаемые Перенос Сумма А В Р S 0 0 0 1 1 0 2. Сконструируем функции P(A, B) и S(A, B) по этой таблице: Преобразуем вторую формулу, пользуясь законами логики:

3. Теперь можно построить функциональную схему одноразрядного полусумматора: Чтобы убедиться в том, как работает схема, проследите за прохождением сигналов в каждом из четырёх случаев и составьте таблицу истинности данной логической схемы. Условное обозначение одноразрядного сумматора:

Полный одноразрядный сумматор. Одноразрядный двоичный сумматор на три входа и два выхода называется полным одноразрядным сумматором. Логика работы одноразрядного сумматора на три входа или полного сумматора приведена в таблице, где А, В суммируемые двоичные цифры, Pо перенос из младшего разряда, S образующаяся сумма данного разряда и осуществляет перенос P в следующий старший разряд. Слагаемые Перенос из младшего разряда Сумма Перенос А B P 0 S P 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Формула переноса: Формула для вычисления суммы:

После преобразования формулы переноса и суммы принимают вид: Теперь можно построить схему полного одноразрядного сумматора с учётом переноса из младшего разряда.

Сумматор это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел поразрядным сложением. Сумматор является центральным узлом арифметико логического устройства процессора. Находит он применение и в других устройствах компьютера. В реальных электронных схемах сумматор изображается так: Сумматор выполняет сложение многозначных двоичных чисел. Он представляет собой последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров, каждый из которых осуществляет сложение в одном разряде. Если при этом возникает переполнение разряда, то перенос суммируется с содержимым старшего соседнего разряда. На рисунке показано, как из N сумматоров можно составить устройство для сложения двух N разрядных двоичных кодов, это схема многоразрядного сумматора.

ТРИГГЕР Триггер электронная схема, применяемая для хранения значения одноразрядного двоичного кода. Воздействуя на входы триггера, его переводят в одно из двух возможных состояний (0 или 1). С поступлением сигналов на входы триггера в зависимости от его состояния либо происходит переключение, либо исходное состояние сохраняется. При отсутствии входных сигналов триггер сохраняет свое состояние сколь угодно долго. Термин триггер происходит от английского слова trigger защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает "хлопанье". Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного электрического состояния в другое. Существуют разные варианты исполнения триггеров в зависимости от элементной базы (И НЕ, ИЛИ НЕ) и функциональных связей между сигналами на входах и выходах (RS, JK, T, D и другие). Самый распространённый тип триггера это RS триггер (S и R соответственно от английских set установка, и reset сброс). Условное обозначение RS триггера:

RS триггер построен на 2 х логических элементах: ИЛИ НЕ либо И – НЕ. Как, правило, триггер имеет 2 выхода: прямой и инверсный Q Как он работает? Пусть на вход элемента № 1 подан сигнал 1, а на вход элемента № 3 0. На выходе элемента № 1 независимо от того, какой второй сигнал поступит на вход, будет 1, т. к. это элемент ИЛИ (по свойствам дизъюнкции). Пройдя через элемент № 2 сигнал примет значение 0 (Q=0). Следовательно, и на втором входе элемента № 3 установится сигнал 0. На выходе элемента № 3 0. Пройдя через элемент № 4 сигнал изменится на 1. Следовательно, = 1. Убедимся, что данное устройство сохраняет информацию. Запомните, что S=0, R=1, Q=0, =1. В момент прекращения входных сигналов (S=0, R=0) на выходе =1. Это напряжение подается на вход элемента № 1. На выходе элемента № 1 сохраняется 1, и на Q сигнал 0. На входах элемента № 3 0, следовательно =1. Таким образом, при отсутствии на внешних входах сигналов 1 триггер поддерживает постоянное напряжение на своих выходах. Чтобы изменить напряжение на выходах триггера, надо подать сигнал 1 на вход элемента № 3. Тогда Q=1, =0.

RS триггер Вход Выход Режим работы S R Q 0 0 Хранение 1 0 Запись 1 0 1 Запись 0 1 1 Х Х Запрещение ()

РЕГИСТРЫ Функциональная схема компьютера, состоящая из триггеров, предназначенная для запоминания многоразрядных кодов и выполнения над ними некоторых логических преобразований называется регистром. Упрощенно регистр можно представить как совокупность ячеек, в каждой из которых может быть записано одно из двух значений: 0 или 1, то есть один разряд двоичного числа. С помощью регистров можно выполнять следующие операции: установку, сдвиг, преобразование. Основными типами регистров являются параллельные и последовательные (сдвигающие). Совокупность регистров, используемых ЭВМ для запоминания программы работы, исходных и промежуточных результатов называется оперативной памятью (ОП). Регистры содержатся в различных вычислительных узлах компьютера процессоре, периферийных устройствах и т. д. Регистр это устройство, предназначенное для хранения многоразрядного двоичного числового кода, которым можно представлять и адрес, и команду, и данные.

РЕГИСТРЫ Существует несколько типов регистров, отличающихся видом выполняемых операций. Некоторые важные регистры имеют свои названия, например: сдвиговый регистр предназначен для выполнения операции сдвига; счетчики схемы, способные считать поступающие на вход импульсы. К ним относятся Т триггеры (название от англ. tumble опрокидываться). Этот триггер имеет один счетный вход и два выхода. Под действием сигналов триггер меняет свое состояние с нулевого на единичное и наоборот. Число перебрасываний соответствует числу поступивших сигналов; счетчик команд регистр устройства управления процессора (УУ), содержимое которого соответствует адресу очередной выполняемой команды; служит для автоматической выборки программы из последовательных ячеек памяти; регистр команд регистр УУ для хранения кода команды на период времени, необходимый для ее выполнения. Часть его разрядов используется для хранения кода операции, остальные для хранения кодов адресов операндов. В ЭВМ применяются регистры 8, 16, 32, 48 и 64 разрядов.

ШИФРАТОРЫ И ДЕШИФРАТОРЫ Шифратор и дешифратор являются типовыми узлами ЭВМ. Шифратор (кодер) это логическое устройство, которое преобразует единичный сигнал на одном из входов в n-разрядный двоичный код. Наибольшее применение он находит в устройствах ввода информации (например в клавиатуре), для преобразования десятичных чисел в двоичную систему счисления. Дешифратор (декодер) это логическое устройство, преобразующее двоичный код, поступающий на его входы, в сигнал только на одном из его выходов. Дешифраторы широко применяются в устройствах управления, в системах цифровой индикации с газоразрядными индикаторами, для построения распределителей импульсов по различным цепям и т. д. Схема используется для перевода двоичных цифр в десятичные. Дешифратор двоичного n разрядного кода имеет 2 n выходов, т. к. каждому из 2 n значений входного кода должен соответствовать единичный сигнал на одном из выходов дешифратора.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА ИМЕНИ И.М. ГУБКИНА

на тему: «Логические основы устройства компьютера»

Булат В.Р.

Москва, 2014

1. Что такое алгебра логики

1 Логические операции: дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

2 Таблицы истинности

Логические основы компьютера

1 Законы алгебры логики

2 Переключательные схемы

3 Вентили

4 Сумматор и полусумматор

4.1 Полусумматор

4.2 Сумматор

5 Триггер как элемент памяти. Схема RS-триггера

5.1 RS-триггер на вентилях ИЛИ-НЕ

Список использованной литературы

1. Что такое алгебра логики

Алгебра логики (булева алгебра) - это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля. Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Во-вторых, она делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1 или 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

Что такое простое логическое высказывание? Это фразы типа «два больше одного», «5.8 является целым числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором ложь. Алгебра логики не касается сути этих высказываний. Если кто-то решит, что высказывание «Земля квадратная» истинно, то алгебра логики это примет как факт. Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.

.1 Логические операции: дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем. Такими операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию - ||, а отрицание - чертой над переменной, обозначающей высказывание.

При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более чем из двух простых.

В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание - это унарная операция (т.е. зависящая от одного аргумента), т.к. выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

.2 Таблицы истинности

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B). (1, с. 125).

2. Логические основы компьютера

В компьютере используются различные устройства, работу которых прекрасно описывает алгебра логики. К таким устройствам относятся группы переключателей, вентили, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в используемой в компьютере двоичной системе счисления. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать как числа, так и значения логических переменных.

.1 Законы алгебры логики

Для логических величин обычно используются три операции:

1. Конъюнкция - логическое умножение (И) - and, &, ∧.

2. Дизъюнкция - логическое сложение (ИЛИ) - or, |, v.

Логическое отрицание (НЕ) - not, ¬.

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики:

1. Законы рефлексивности: a ∨ a = a a ∧ a = a

2. Законы коммутативности: a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a

Законы дистрибутивности: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Закон отрицания: ¬ (¬ a) = a

Законы де Моргана: ¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

7. Законы поглощения: a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a

2.2 Переключательные схемы

В ЭВМ применяются электрические схемы, состоящие из множества переключателей. Переключатель может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае - ток проходит, во втором - нет. Описывать работу таких схем очень удобно с помощью алгебры логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

.3 Вентили

Вентиль - это устройство, которое выдает результат булевой операции от введенных в него данных (сигналов). Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Вентили представляют собой достаточно простые элементы, которые можно комбинировать между собой, создавая тем самым различные схемы. Одни схемы подходят для осуществления арифметических операций, а на основе других строят различную память ЭВМ.

Простейший вентиль представляет собой транзисторный инвертор, который преобразует низкое напряжение в высокое или наоборот (высокое в низкое). Это можно представить как преобразование логического нуля в логическую единицу или наоборот, т.е. получаем вентиль НЕ.

Соединив пару транзисторов различным способом, получают вентили ИЛИ-НЕ и И-НЕ. Эти вентили принимают уже не один, а два и более входных сигнала. Выходной сигнал всегда один и зависит от входных сигналов. В случае вентиля ИЛИ-НЕ получить высокое напряжение (логическую единицу) можно только при условии низкого напряжении на всех входах. В случае вентиля И-НЕ все наоборот: логическая единица получается, если все входные сигналы будут нулевыми. Как видно, это обратно таким привычным логическим операциям как И и ИЛИ. Однако обычно используются вентили И-НЕ и ИЛИ-НЕ, т.к. их реализация проще: И-НЕ и ИЛИ-НЕ реализуются двумя транзисторами, тогда как логические И и ИЛИ тремя.

Выходной сигнал вентиля можно выражать как функцию от входных.

Транзистору требуется очень мало времени для переключения из одного состояния в другое (время переключения оценивается в наносекундах). И в этом одно из существенных преимуществ схем, построенных на их основе.

2.4 Сумматор и полусумматор

Арифметико-логическое устройство процессора (АЛУ) обязательно содержит в своем составе такие элементы как сумматоры. Эти схемы позволяют складывать двоичные числа.

Как происходит сложение? Допустим, требуется сложить двоичные числа 1001 и 0011. Сначала складываем младшие разряды (последние цифры): 1+1=10. Т.е. в младшем разряде будет 0, а единица - это перенос в старший разряд. Далее: 0 + 1 + 1(от переноса) = 10, т.е. в данном разряде снова запишется 0, а единица уйдет в старший разряд. На третьем шаге: 0 + 0 + 1(от переноса) = 1. В итоге сумма равна 1100.

.4.1 Полусумматор

Теперь не будем обращать внимание на перенос из предыдущего разряда и рассмотрим только, как формируется сумма текущего разряда. Если были даны две единицы или два нуля, то сумма текущего разряда равна 0. Если одно из двух слагаемых равно единице, то сумма равна единице. Получить такие результаты можно при использовании вентиля ИСКЛЮЧАЮЩЕГО ИЛИ.

Перенос единицы в следующий разряд происходит, если два слагаемых равны единице. И это реализуемо вентилем И.

Тогда сложение в пределах одного разряда (без учета возможной пришедшей единицы из младшего разряда) можно реализовать изображенной ниже схемой, которая называется полусумматором. У полусумматора два входа (для слагаемых) и два выхода (для суммы и переноса). На схеме изображен полусумматор, состоящий из вентилей ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ и И.

2.4.2 Сумматор

В отличие от полусумматора сумматор учитывает перенос из предыдущего разряда, поэтому имеет не два, а три входа.

Чтобы учесть перенос приходится схему усложнять. По-сути получается, что состоит из двух полусумматоров.

Рассмотрим один из случаев. Требуется сложить 0 и 1, а также 1 из переноса. Сначала определяем сумму текущего разряда. Судя по левой схеме ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, куда входят a и b, на выходе получаем единицу. В следующее ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ уже входят две единицы. Следовательно, сумма будет равна 0.

Теперь смотрим, что происходит с переносом. В один вентиль И входят 0 и 1 (a и b). Получаем 0. Во второй вентиль (правее) заходят две единицы, что дает 1. Проход через вентиль ИЛИ нуля от первого И и единицы от второго И дает нам 1.

Проверим работу схемы простым сложением 0 + 1 + 1 = 10. Т.е. 0 остается в текущем разряде, и единица переходит в старший. Следовательно, логическая схема работает верно.

Работу данной схемы при всех возможных входных значениях можно описать следующей таблицей истинности.

.5 Триггер как элемент памяти. Схема RS-триггера

Память (устройство, предназначенное для хранения данных и команд) является важной частью компьютера. Можно сказать, что она его и определяет: если вычислительное устройство не имеет памяти, то оно уже не компьютер.

Элементарной единицей компьютерной памяти является бит. Поэтому требуется устройство, способное находиться в двух состояниях, т.е. хранить единицу или ноль. Также это устройство должно уметь быстро переключаться из одного состояния в другое под внешним воздействием, что дает возможность изменять информацию. Ну и наконец, устройство должно позволять определять его состояние, т.е. предоставлять во вне информацию о своем состоянии.

Триггер - устройство, способное запоминать, хранить и позволяющее считывать информацию. Он был изобретен в начале XX века Бонч-Бруевичем.

Разнообразие триггеров весьма велико. Наиболее простой из них так называемый RS-триггер, который собирается из двух вентилей. Обычно используют вентили ИЛИ-НЕ или И-НЕ.

алгебра логика таблица компьютер

2.5.1 RS-триггер на вентилях ИЛИ-НЕ

RS-триггер «запоминает», на какой его вход подавался сигнал, соответствующий единице, в последний раз. Если сигнал был подан на S-вход, то триггер на выходе постоянно «сообщает», что хранит единицу. Если сигнал, соответствующий единице, подан на R-вход, то триггер на выходе имеет 0. Не смотря на то, что триггер имеет два выхода, имеется в виду выход Q. (Q с чертой всегда имеет противоположное Q значение.)

Другими словами, вход S (set) отвечает за установку триггера в 1, а вход R (reset) - за установку триггера в 0. Установка производится сигналом, с высоким напряжением (соответствует единице). Просто все зависит от того, на какой вход он подается.

Большую часть времени на входы подается сигнал равный 0 (низкое напряжение). При этом триггер сохраняет свое прежнее состояние.

Возможны следующие ситуации:

· Q = 1, сигнал подан на S, следовательно, Q не меняется.

· Q = 0, сигнал подан на S, следовательно, Q = 1.

· Q = 1, сигнал подан на R, следовательно, Q = 0.

· Q = 0, сигнал подан на R, следовательно, Q не меняется.

Ситуация, при которой на оба входа подаются единичные сигналы, недопустима.

Как триггер сохраняет состояние? Допустим, триггер выдает на выходе Q логический 0. Тогда судя по схеме, этот 0 возвращается также и в верхний вентиль, где инвертируется (получается 1) и уже в этом виде передается нижнему вентилю.

Тот в свою очередь снова инвертирует сигнал (получается 0), который и имеется на выходе Q. Состояние триггера сохраняется, он хранит 0.

3. Практическое значение алгебры логики

Двоичный полусумматор способен осуществлять операцию двоичного сложения двух одноразрядных двоичных чисел (т.е. выполнять правила двоичной арифметики):

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 0.

При этом полусумматор выделяет бит переноса. Однако схема полусумматора не содержит третьего входа, на который можно подавать сигнал переноса от предыдущего разряда суммы двоичных чисел. Поэтому полусумматор используется только в младшем разряде логической схемы суммирования многоразрядных двоичных чисел, где не может быть сигнала переноса от предыдущего двоичного разряда. Полный двоичный сумматор складывает два многоразрядных двоичных числа с учетом сигналов переноса от сложения в предыдущих двоичных разрядах.

Соединяя двоичные сумматоры в каскад, можно получить логическую схему сумматора для двоичных чисел с любым числом разрядов. С некоторыми изменениями эти логические схемы применяются для вычитания, умножения и деления двоичных чисел. С их помощью построены арифметические устройства современных компьютеров.

Сумматоры и полусумматоры являются однотактными логическими схемами. Значения их выходов однозначно определяется значениями их входов. Фактор времени в них отсутствует. Наряду с ними существуют многотактные логические схемы, в которых значения их выходов определяются не только значениями их входов, но и их состоянием в предыдущем такте. Фактор времени и определяется такими тактами. К таким логическим схемам относятся схемы памяти (триггеры). Они строятся с помощью обратной связи с выхода на вход.

В триггерах с помощью обратной связи образуется замкнутая цепь с выхода на вход для запоминания входного сигнала. Эта цепь сохраняется после снятия входного сигнала неограниченное время, вплоть до появления сигнала стирания.

Такая схема памяти имеет еще и другое название - триггер с раздельными входами. В такой схеме есть вход для запоминания (S) и стирания (R). Широко используется в вычислительной технике и триггер со счетным входом. Он имеет только один вход и один выход. Такая схема осуществляет деление на 2, т.е. состояние ее выхода изменяется только после подачи подряд двух входных импульсов. Соединяя триггеры со счетным выходом в последовательный каскад, можно осуществлять деление на 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.д.

Схема оперативной памяти играет важную роль при построении систем управления машинами повышенной опасности, такими, например, как производственные прессы. Чтобы обезопасить руки оператора, такие машины строят с системами двуручного управления. Подобные системы заставляют оператора держать обе руки на кнопках управления во время каждого рабочего цикла машины. Это исключает попадание рук в опасную зону, где происходит прессование детали.

В современных компьютерах микроскопические транзисторы в кристалле интегральной схемы сгруппированы в системы вентилей, выполняющих логические операции над двоичными числами. Так, с их помощью построены описанные выше двоичные сумматоры, позволяющие складывать многоразрядные двоичные числа, производить вычитание, умножение, деление и сравнение чисел между собой. Логические вентили, действуя по определенным правилам, управляют движением данных и выполнением инструкций в компьютере. (2, с.218)

Список использованной литературы

1) Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии: Учебник для 10-11 классов - М.:БИНОМ, 2003. - 512 с.

) Макарова Н.В., Волков В.Б. Информатика: учебник для вузов - М.: Питер, 2011. - 576 с.