Средняя молярная масса газовой смеси формула. Как найти молярную массу смеси газов

10.5. Влияние газов на свойства серебряных сплавов Серебро не очень активно взаимодействует с различными газами, за исключением кислорода. Так, азот не растворяется ни в жидком, ни в твердом серебре. Ничтожна растворимость инертных газов в серебре. Растворимость водорода в

11.5. Влияние газов на свойства сплавов золота Встречающиеся при плавке газы, такие как кислород, водород, углеводороды, азот, моно– и диоксид углерода, сернистый газ, пары воды, образующиеся при попадании водорода в кислородосодержащий раствор, и т. п., ни в твердом, ни в

III. Масса, пространство и другие формальные категории Книга третья, рассказывающая о чувствах, пробуждаемых в нас зодчеством В первой книге, да и отчасти во второй мы говорили преимущественно о языке архитектуры. Как будто само здание или его автор что-то хотят нам

Задача 24. При каком молярном соотношении аргона и азота получается смесь, плотность которой равна плотности воздуха?

Решение. Средняя молярная масса смеси равна средней молярной массе воздуха, т.е. 29 г/моль.

Пусть в смеси содержится моль и у моль Тогда, пользуясь определением средней молярной массы, можно записать соотношение

Мы видим, что средняя молярная масса газовой смеси зависит от относительного, а не абсолютного количества компонентов смеси, т.е. не от х и у по отдельности, а только от их отношения.

Задача 25. Плотность смеси кислорода и озона по водороду равна 20. Определите массовую, объемную и мольную доли кислорода в смеси.

Решение. Средняя молярная масса смеси равна 20 2 = 40 г/моль. Пусть в смеси содержится х моль и у моль . Тогда, пользуясь определением средней молярной массы, можно записать соотношение

откуда Следовательно, количества кислорода и озона в смеси равны, т.е. мольная доля кислорода равна 50%.

По закону Авогадро, объем газа прямо пропорционален его количеству, причем коэффициент пропорциональности одинаков для всех газов и зависит только от температуры и давления, поэтому объемная доля газа в смеси всегда равна его мольной доле.

Найдем теперь массовую долю кислорода. Массовая доля равна

Мы видим, что мольная, объемная и массовая доли вещества в смеси не зависят от общего количества смеси (от х). Поэтому для расчетов часто выбирают любое удобное количество смеси, например 1 моль, или или 100 г и т.д.

Ответ. Мольная и объемная доли , массовая доля .

Задача 26. Найдите плотность по водороду воздуха, имеющего следующий объемный состав:

Решение. Поскольку объемы газов пропорциональны их количествам (закон Авогадро), то среднюю молярную массу смеси можно выражать не только через моли, но и через объемы:

Возьмем смеси, тогда Подставляя эти значения в формулу (1), получим

Задача 27. (ММА, леч. ф-т, 1989). Имеется смесь азота и углекислого газа. При добавлении какого газа к этой смеси ее плотность: а) увеличится; б) уменьшится? Приведите по два примера в каждом случае.

Решение. Это - очень красивая задача на верхнюю и нижнюю границу средней молярной массы смеси. Идея задачи состоит в том, что мы не можем точно рассчитать среднюю молярную массу, поскольку мы не знаем относительные количества веществ. Однако существует простая математическая теорема, согласно которой при любом содержании компонентов средняя молярная масса всегда больше наименьшей молярной массы среди всех компонентов смеси и меньше наибольшей молярной массы:

В применении к данной задаче это означает, что

Для того чтобы плотность смеси увеличилась, надо добавить газ с молярной массой, большей, чем .

Для этого достаточно, чтобы г/моль, например

Аналогично, того, чтобы плотность смеси уменьшилась, надо добавить газ с молярной массой, меньшей, чем Для этого достаточно, чтобы г/моль, например СН4 (М = 16) и Не (М = 4).

Задача 28. (МГУ, хим. ф-т, 1994). Определите плотность этаналя при выбранных вами условиях.

Решение. Идея задачи состоит в том, что надо выбрать условия (температуру и давление), при которых является газом. Достаточно взять нормальное давление кПа и не очень высокую температуру, например После этого плотность можно вычислить по уравнению Менделеева-Клапейрона:

Многие делают в этой задаче естественную ошибку, выбирая нормальные условия, при которых этаналь является жидкостью, и его плотность нельзя определить по газовым законам.

Задача 29. (ММА, леч. ф-т, 1990). При дегидрировании бутана объемом 100 л выделилось 200 л водорода. Установите молекулярную формулу образовавшегося продукта. Объемы газов измерены при 150 °С и 101 кПа.

Решение. Уравнение дегидрирования бутана можно записать в общем виде:

Мы должны найти х. Для этого можно определить количества молей бутана и водорода по уравнению Менделеева-Клапейрона и найти их отношение. Однако решение многих газовых задач сильно облегчается использованием закона Авогадро, согласно которому отношение количеств газов равно отношению их объемов.

Следовательно, формула образовавшегося углеводорода -

Задача 30. (ММА, леч. ф-т, 1993). Какой объем воздуха расходуется для полного сжигания смеси циклобутана и бутена объемом ? Объемы газов измерены при одинаковых условиях.

Решение. Циклобутан и бутен являются изомерами (общая формула ), поэтому количество кислорода, необходимого для полного сжигания смеси, определяется только общим количеством углеводородов и не зависит от индивидуального содержания каждого из них в смеси. Общее уравнение реакций:

Согласно уравнению, количество в 6 раз превосходит количество поэтому по закону Авогадро для сжигания требуется 6-кратный объем , т.е. Поскольку объемная доля в воздухе равна 20%, то необходимый объем воздуха равен

Ответ. 300 л воздуха.

Задача 31. (МГУ, биол. ф-т, 1992). Пары этаналя смешали с водородом в молярном отношении 1:2 при давлении 300 кПа и температуре 400 °С в замкнутом реакторе, предназначенном для синтеза этанола. После окончания процесса давление газов в реакторе при неизменной температуре уменьшилось на 20%. Определите объемную долю паров этанола в реакционной смеси и процент превращения уксусного альдегида в этанол.

Пусть в исходной смеси содержалось х моль этаналя, тогда, по условию, Общее число молей газов равно

Реакция этаналя с водородом обратима. Пусть в эту реакцию вступает у моль , тогда водорода расходуется также у моль, и образуется у моль .

В конечной смеси содержатся: . Общее число молей газов равно .

По условию, давление в конечной смеси уменьшилось на 20% по сравнению с исходным. Поскольку температура в процессе реакции не изменяется и объем реактора постоянен, то уменьшение давления вызвано только уменьшением числа молей газов. Таким образом, или

где 1 и 2 - число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам:

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

(8)

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем:

Ответ: p= 2493 кПа, =3 10 -3 кг/моль.

Задача 8. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Решение . Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода - двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия <E i >=kТ/2 , где k- постоянная Больцмана; T- термодинами­ческая температура. Поступательному движению приписывается три (i =3), а вращательному две (i =2) степени свободы. Энергия одной молекулы

Число молекул, содержащихся в массе газа, равно

где v - число молей; N A - постоянная Авогадро.

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

где R=k N А - молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательногодвижения молекул водорода

. (2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

Ответ : <Е пост >=4986кДж, <Е вр >=2324кДж.

Задача 9 . Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27°С и давлении 100 кПа.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле

(1)

где d - эффективный диаметр молекулы кислорода; п - число молекул в единице объема, которое можно определить из ура­внения

n=p/(kT), (2)

где k - постоянная Больцмана.

Подставляя(2) в (1), имеем

(3)

Число соударенийZ , происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно

где N - число молекул кислорода в сосуде объемом 2 10 -3 м 3 ;

Среднее число соударений одной молекулы за 1 с.

Число молекул в сосуде N=n V. (5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с равно

(6)

где - средняя арифметическая скорость молекулы

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

Подставляя числовые значения, получим

Ответ : Z=9 10 28 с- 1 , < >=3,56 10 -8 м.

Задача 10. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т=300 К и давлении 10 5 Па.

Решение . Коэффициент диффузии определяется по формуле

(1)

где - средняя арифметическая скорость молекул, равная

Средняя длина свободного пробега молекул.

Для нахождения воспользуемся формулой из решения примера 4

(3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

(4)

Коэффициент внутреннего трения

(5)

где р - плотность газа при температуре 300 К и давлении 10 5 Па. Для нахождения р воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота - при нормальных условиях Т о =273 К, р = 1,01 10 5 Па и в условиях задачи:

Учитывая, что

. (7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

Ответ : D=4,7 10 -5 м 2 /с,

Задача 11. Объем аргона, находящегося при давлении 80кПа, увеличился от 1 до 2л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно, б) адиабатно.

Решение . Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии U и на внешнюю механическую работу А:

Q= U+А (1)

Величину U можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме с v и изменение температуры Т :

(2)

Однако удобнее изменение внутренней энергии U определять через молярную теплоемкость C v , которая может быть выражена через число степеней свободы:

(4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии U, которая выражается формулой (4) Найти U для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клапейрона - Менделеева для начального и конечного состояний газа:

p(V 2 -V 1)=(m/M)R(T 2 -Т 1).

Подставив (5) в формулу (4), получим

(6)

Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q =0. Уравнение (1) запишется в виде

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ):

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

(9)

где - показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей:

Для аргона - одноатомного газа (i =3) - имеем =1,67.

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном про­цессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

(10)

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клапейрона - Менделеева для данного случая , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

(11)

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении

б) при адиабатном расширении

Ответ:

Задача 12. Заряд 15∙10 -9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом 0,2 м. Найдите напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии 15 см от его центра.

Решение . Разделим кольцо на одинаковые бесконечно малые участки dl . Заряд каждого участка dq можно считать точечным.

Напряженность электрического поля dE , создаваемого в точке А на оси кольца зарядом dq , равна:

(1)

где (2)

Полная напряженность поля Е в точке А, создаваемая зарядом q, согласно принципу суперпозиции равна векторной сумме напряженностей dE i полей, создаваемых всеми точечными зарядами:

Вектор dE разложим на составляющие: вектор dE 1 (направлен вдоль оси кольца) и вектор dE 2 (параллелен плоскости кольца).

Тогда

Для каждой пары зарядов dq и dq / , расположенных симметрично относительно центра кольца, dE 2 и dE / 2 в сумме дадут нуль, и значит

Составляющие dE 1 для всех элементов направлены одинаково вдоль кольца, поэтому полная напряженность в точке, лежащей на оси кольца, также направлена вдоль оси.

Модуль полной напряженности найдем интегрированием:

(3)

где α-угол между вектором dE и осью кольца;

(4)

Используя выражения (1), (2) и (4), для E получаем:

Подстановка числовых данных дает:

E =1,3∙10 3 В/м.

Ответ: E =1,3∙10 3 В/м.

Задача 13. З аряд переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1м от бесконечно длинной равномерно заряженной нити, в точку на расстоянии 10 см от нее. Определить работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м. Какая работа совершается на последних 10 см пути?

Решение. Работа внешней силы по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ i в точку с потенциалом φ 0 равна

(1)

Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда τ создает аксиально-симметричное поле напряженностью .

Напряженность и потенциал этого поля связаны соотношением

Откуда .

Разность потенциалов точек поля на расстоянии r i и r 0 от нити

(2)

Подставляя в формулу (1) найденное выражение для разности потенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1 м, до точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от нити:

Подставив численные значения, получим:

A 1 =4,1∙10 -5 (Дж ).

Ответ: A 1 =4,1∙10 -5 (Дж ).

Задача 14. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение времени 2 с по линейному закону от 0 до 6 А.. Определить теплоту Q 1 , выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q 2 - за вторую, а также найти отношение Q 2 /Q 1 .

Решение. Закон Джоуля-Ленца в виде справедлив для постоянного тока. Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

Здесь сила тока является некоторой функцией времени.

В данном случае

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

С учетом (2) формула (1) примет вид

(3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени ∆t, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t 1 до t 2:

Произведем вычисления:

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Ответ: в 7 раз больше.

Задача 15 . Электрическая цепь состоит из двух гальванически; элементов, трех сопротивлений и гальванометра. В этой цепи R 1 = 100 Ом, R 2 =50 Ом, R 3 =20 Ом, Э.Д.С. элемента ε 1 =2 В . Гальванометр регистрирует ток I 3 =50 мА , идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить Э.Д.С . второго элемента. Сопро­тивлением гальванометра и внутрен­ним сопротивлением элементов пре­небречь.

Указание . Для расчета разветвленных цепей применяются законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа . Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е

Второй закон Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме Э.Д.С., встречающихся в контуре.

На основании этих законов можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и Э.Д.С.). Применяя законы Кирхгофа, следует соблюдать сле­дующие правила:

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т. е. произведение Ir ) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение Ir входит в уравнение со знаком минус; б) Э.Д.С. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае Э.Д.С. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбирать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Решение. Выберем направления токов, как они показаны на рисунке, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа для узла F имеем: (1)

По второму закону Кирхгофа имеем для контура ABCDFA:

,

или после умножения обеих частей равенства на -1

(2)

Соответственно для контура AFGHA

(3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными при­емами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε 2 из трех, то воспользуемся методом оп­ределителей.

Составим и вычислим определитель ∆ системы:

Составим и вычислим определитель ∆ε 2:

Разделив определитель ∆ε 2 на определитель ∆, найдем числовое значение ε 2:

ε 2 =-300/-75=4 В.

Ответ: ε 2 =4 В.

Задача 16 . Плоский квадратный контур со стороной 10 см, по которому течет ток силой 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле индукции 1Тл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол 90 0 . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы: (1)где -магнитный момент контура; -магнитная индукция; -угол между векторами и .

Средняя молекулярная масса представляет собой условную величину и относится к такому однородному газу, у которого число молекул и общая масса равны числу молекул и массе смеси газов.

Если известна величина газовой постоянной смеси, то

Заменяя газовые постоянные R 1 , R 2 , ..., R n их значениями из уравнения Клапейрона, получаем выражение для средней молекулярной массы, если смесь задана массовыми долями:

(3-8)

Если смесь задана объемными долями, то, как следует из уравнения (3-6),

Поскольку то

Средняя молекулярная масса смеси газов равна сумме произведений объемных долей на молекулярные массы отдельных газов, составляющих смесь.

Парциальные давления

Парциальное давление газа может быть определено через массовые доли из уравнения Клапейрона, если известны основные параметры газа:

(3-10)

Для нахождения парциального давления каждого газа при задании смеси объемными долями можно воспользоваться законом Бойля - Мариотта, из которого следует, что при постоянной температуре

(3-11)

Парциальное давление каждого газа равно произведению общего давления смеси газов на его объемную долю.

Уравнением (3-11) обычно пользуются при технических расчетах и при испытаниях тепловых установок. Объемные доли газов определяют специальными аппаратами - газоанализаторами.

Удельная энтальпия, т. е. энтальпия, отнесенная к 1 кг, обозначается буквой i и представляет собой по определению сложную функцию вида

Дифференциал энтальпии di есть элементарное количество теплоты, участвующее в процессе при постоянном давлении. Вся теплота в процессе при постоянном давлении расходуется на изменение энтальпии:

(5-15)

Из уравнения (5-12) следует, что

(5-16)

Энтальпия больше внешней теплоты на величину работы vdp, которая на рv-диаграмме изображается элементарной площадкой abed (рис. 5-11). Очевидно, вся пл. ABCD определяется выражением

, которое называется располагаемой, или полезной, работой.

Изменение энтальпии полностью определяется начальным и конечным состоянием рабочего тела и не зависит от промежуточных состояний. Изменение энтальпии газа в циклах равно нулю, т. е.

Поскольку энтальпия является функцией основных параметров состояния, то di есть полный дифференциал этой функции при любых независимых переменных, характеризующих состояние газа;

(5-17)

Изменение энтальпии во всех процессах, протекающих между двумя точками А и В, будет одинаковым (рис. 5-12).

Физический смысл энтальпии будет понятен из рассмотрения следующего примера. На перемещающийся поршень в цилиндре с 1 кг газа помещена гиря массой т кг (рис. 5-13). Площадь поршня /; внутренняя энергия рабочего тела и. Потенциальная энергия гири равна произведению массы гири т на высоту S. Так как давление газа р уравновешивается массой гири, то потенциальную энергию ее можно выразить иначе:

Произведение /S есть удельный объем газа. Отсюда

Произведение давления на объем есть работа, которую надо затратить, чтобы ввести газ объемом v во внешнюю среду с давлением р. Таким образом, работа pv есть потенциальная энергия газа, зависящая от сил, действующих на поршень. Чем больше эти внешние силы, тем больше давление р и тем больше потенциальная энергия давления pv.

Если рассматривать газ, находящийся в цилиндре и поршень с грузом как одну систему, которую будем называть расширенной системой, то полная энергия Е этой системы складывается из внутренней энергии газа и и потенциальной энергии поршня с грузом, равной pv:

Отсюда видно, что энтальпия i равна энергии расширенной системы - тела и окружающей среды. В этом и заключается физический смысл энтальпии.

Значения энтальпий для паров, газов и газовых смесей приводятся в технической и справочной литературе. Пользуясь этими данными, можно определять количество теплоты, участвующее в процессе при постоянном давлении. Энтальпия получила большое значение и применение при расчетах тепловых и холодильных установок и, как параметр состояния рабочего тела, значительно упрощает тепловые расчеты. Она позволяет [применять графические методы при исследовании всевозможных термодинамических процессов и циклов.

Энтальпией особенно целесообразно пользоваться тогда, когда в качестве основных параметров принимают р и Т. Это наглядно можно видеть, если энтальпию i сравнить с внутренней энергией и. При v = const уравнение первого закона термодинамики dq = = du + pdv превращается в dq v = du, или q v - u 2 -u 1 а при р = const q p = i 3 - i 1 .

Энтальпия идеального газа," так же как и внутренняя энергия, является функцией температуры и не зависит от других параметров. Действительно, для идеального газа

следовательно (поскольку оба слагаемых зависят только от температуры), i = f(T).

Тогда по аналогии с внутренней энергией будем иметь

т. е. в любом процессе изменения состояния идеального газа производная от изменения энтальпии по температуре будет полной производной.

Численные значения энтальпий идеальных газов приведены в приложении, табл. XIII.