Menyelesaikan sistem ketaksamaan linear secara grafik. Ketaksamaan

Mari kita lihat contoh cara menyelesaikan sistem ketaksamaan linear.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Untuk menyelesaikan sistem, anda memerlukan setiap ketaksamaan konstituennya. Hanya keputusan dibuat untuk tidak menulis secara berasingan, tetapi bersama-sama, menggabungkannya dengan pendakap kerinting.

Dalam setiap ketaksamaan sistem, kita memindahkan yang tidak diketahui ke satu pihak, yang diketahui ke yang lain dengan tanda yang bertentangan:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Selepas penyederhanaan, kedua-dua belah ketaksamaan mesti dibahagikan dengan nombor di hadapan X. Kami membahagikan ketidaksamaan pertama dengan nombor positif, jadi tanda ketidaksamaan tidak berubah. Kami membahagikan ketaksamaan kedua dengan nombor negatif, jadi tanda ketaksamaan mesti diterbalikkan:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kami menandakan penyelesaian kepada ketaksamaan pada garis nombor:

Sebagai tindak balas, kami menulis persilangan penyelesaian, iaitu bahagian yang terdapat teduhan pada kedua-dua garisan.

Jawapan: x∈[-2;1).

Dalam ketaksamaan pertama, mari kita singkirkan pecahan. Untuk melakukan ini, kita mendarab kedua-dua belah sebutan dengan sebutan dengan penyebut sepunya terkecil 2. Apabila didarab dengan nombor positif, tanda ketaksamaan tidak berubah.

Dalam ketidaksamaan kedua kita membuka kurungan. Hasil tambah dan perbezaan dua ungkapan adalah sama dengan perbezaan kuasa dua ungkapan ini. Di sebelah kanan ialah kuasa dua perbezaan antara kedua-dua ungkapan.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kami mengalihkan yang tidak diketahui ke satu pihak, yang diketahui ke yang lain dengan tanda yang bertentangan dan memudahkan:

Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan nombor di hadapan X. Dalam ketaksamaan pertama, kita bahagikan dengan nombor negatif, jadi tanda ketidaksamaan itu diterbalikkan. Pada yang kedua, kita bahagikan dengan nombor positif, tanda ketidaksamaan tidak berubah:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kedua-dua ketaksamaan mempunyai tanda "kurang daripada" (tidak kira satu tanda sama sekali "kurang daripada", yang lain longgar, "kurang daripada atau sama"). Kami tidak boleh menandakan kedua-dua penyelesaian, tetapi gunakan peraturan “ “. Yang lebih kecil ialah 1, oleh itu sistem berkurangan kepada ketaksamaan

Kami menandakan penyelesaiannya pada garis nombor:

Jawapan: x∈(-∞;1].

Membuka kurungan. Dalam ketaksamaan pertama - . Ia sama dengan jumlah kubus bagi ungkapan ini.

Dalam kedua, hasil tambah dan perbezaan dua ungkapan, yang sama dengan perbezaan segi empat sama. Oleh kerana di sini terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, lebih baik membukanya dalam dua peringkat: pertama gunakan formula, dan kemudian buka kurungan, menukar tanda setiap istilah ke sebaliknya.

Kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu arah, yang diketahui ke arah yang lain dengan tanda yang bertentangan:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kedua-duanya lebih besar daripada tanda-tanda. Menggunakan peraturan "lebih daripada lebih", kami mengurangkan sistem ketaksamaan kepada satu ketaksamaan. Yang lebih besar daripada dua nombor ialah 5, oleh itu,

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kami menandakan penyelesaian kepada ketaksamaan pada garis nombor dan tulis jawapannya:

Jawapan: x∈(5;∞).

Oleh kerana dalam sistem algebra ketaksamaan linear berlaku bukan sahaja sebagai tugas bebas, tetapi juga semasa menyelesaikan pelbagai jenis persamaan, ketaksamaan, dll., adalah penting untuk menguasai topik ini tepat pada masanya.

Kali seterusnya kita akan melihat contoh penyelesaian sistem ketaksamaan linear dalam kes khas apabila salah satu ketaksamaan tidak mempunyai penyelesaian atau penyelesaiannya ialah sebarang nombor.

Kategori: |

Artikel ini menyediakan maklumat awal tentang sistem ketaksamaan. Berikut ialah takrifan sistem ketaksamaan dan takrifan penyelesaian kepada sistem ketaksamaan. Jenis sistem utama yang paling kerap perlu digunakan dalam pelajaran algebra di sekolah juga disenaraikan, dan contoh diberikan.

Navigasi halaman.

Apakah sistem ketidaksamaan?

Adalah mudah untuk mentakrifkan sistem ketaksamaan dengan cara yang sama seperti kami memperkenalkan definisi sistem persamaan, iaitu, dengan jenis tatatanda dan makna yang tertanam di dalamnya.

Definisi.

Sistem ketidaksamaan ialah rekod yang mewakili bilangan ketaksamaan tertentu yang ditulis satu di bawah satu lagi, disatukan di sebelah kiri oleh pendakap kerinting, dan menandakan set semua penyelesaian yang serentak penyelesaian kepada setiap ketaksamaan sistem.

Mari kita berikan contoh sistem ketaksamaan. Mari kita ambil dua yang sewenang-wenangnya, sebagai contoh, 2 x−3>0 dan 5−x≥4 x−11, tuliskannya satu di bawah yang lain
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
dan bersatu dengan tanda sistem - pendakap kerinting, sebagai hasilnya kita memperoleh sistem ketaksamaan dalam bentuk berikut:

Idea yang sama diberikan tentang sistem ketidaksamaan dalam buku teks sekolah. Perlu diingat bahawa takrifan mereka diberikan dengan lebih sempit: untuk ketidaksamaan dengan satu pembolehubah atau dengan dua pembolehubah.

Jenis utama sistem ketidaksamaan

Adalah jelas bahawa adalah mungkin untuk mewujudkan banyak sistem ketidaksamaan yang berbeza. Untuk tidak tersesat dalam kepelbagaian ini, adalah dinasihatkan untuk menganggap mereka dalam kumpulan yang mempunyai ciri tersendiri. Semua sistem ketaksamaan boleh dibahagikan kepada kumpulan mengikut kriteria berikut:

dengan bilangan ketaksamaan dalam sistem;
dengan bilangan pembolehubah yang terlibat dalam rakaman;
oleh jenis ketidaksamaan itu sendiri.

Berdasarkan bilangan ketaksamaan yang termasuk dalam rekod, sistem dua, tiga, empat, dan lain-lain dibezakan. ketidaksamaan Dalam perenggan sebelumnya kami memberikan contoh sistem, iaitu sistem dua ketaksamaan. Mari kita tunjukkan satu lagi contoh sistem empat ketaksamaan .

Secara berasingan, kita akan mengatakan bahawa tidak ada gunanya bercakap tentang sistem ketidaksamaan sahaja; dalam kes ini, pada dasarnya, kita bercakap tentang ketidaksamaan itu sendiri, dan bukan tentang sistem.

Jika anda melihat bilangan pembolehubah, maka terdapat sistem ketaksamaan dengan satu, dua, tiga, dll. pembolehubah (atau, seperti yang mereka katakan, tidak diketahui). Lihat sistem ketaksamaan terakhir yang ditulis dua perenggan di atas. Ia adalah sistem dengan tiga pembolehubah x, y dan z. Sila ambil perhatian bahawa dua ketaksamaan pertamanya tidak mengandungi ketiga-tiga pembolehubah, tetapi hanya satu daripadanya. Dalam konteks sistem ini, ia harus difahami sebagai ketaksamaan dengan tiga pembolehubah dalam bentuk x+0·y+0·z≥−2 dan 0·x+y+0·z≤5, masing-masing. Ambil perhatian bahawa sekolah memberi tumpuan kepada ketidaksamaan dengan satu pembolehubah.

Ia masih untuk membincangkan jenis ketidaksamaan yang terlibat dalam sistem rakaman. Di sekolah, mereka terutamanya menganggap sistem dua ketaksamaan (kurang kerap - tiga, malah kurang kerap - empat atau lebih) dengan satu atau dua pembolehubah, dan ketidaksamaan itu sendiri biasanya keseluruhan ketidaksamaan darjah pertama atau kedua (kurang kerap - darjah lebih tinggi atau rasional pecahan). Tetapi jangan terkejut jika dalam bahan persediaan anda untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, anda menemui sistem ketaksamaan yang mengandungi ketaksamaan tidak rasional, logaritma, eksponen dan lain-lain. Sebagai contoh, kita berikan sistem ketaksamaan , ia diambil daripada .

Apakah penyelesaian kepada sistem ketaksamaan?

Mari kita perkenalkan definisi lain yang berkaitan dengan sistem ketaksamaan - takrif penyelesaian kepada sistem ketaksamaan:

Definisi.

Menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan satu pembolehubah dipanggil nilai pembolehubah sedemikian yang menjadikan setiap ketaksamaan sistem menjadi benar, dengan kata lain, ia adalah penyelesaian kepada setiap ketaksamaan sistem.

Mari kita jelaskan dengan contoh. Mari kita ambil sistem dua ketaksamaan dengan satu pembolehubah. Mari kita ambil nilai pembolehubah x bersamaan dengan 8, ia adalah penyelesaian kepada sistem ketaksamaan kita mengikut takrif, kerana penggantiannya kepada ketaksamaan sistem memberikan dua ketaksamaan berangka yang betul 8>7 dan 2−3·8≤0. Sebaliknya, perpaduan bukanlah penyelesaian kepada sistem, kerana apabila ia digantikan dengan pembolehubah x, ketaksamaan pertama akan bertukar menjadi ketaksamaan berangka yang salah 1>7.

Begitu juga, anda boleh memperkenalkan definisi penyelesaian kepada sistem ketaksamaan dengan dua, tiga atau lebih pembolehubah:

Definisi.

Menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan dua, tiga, dsb. pembolehubah dipanggil sepasang, tiga, dsb. nilai pembolehubah ini, yang pada masa yang sama merupakan penyelesaian kepada setiap ketidaksamaan sistem, iaitu, menjadikan setiap ketidaksamaan sistem menjadi ketaksamaan berangka yang betul.

Sebagai contoh, sepasang nilai x=1, y=2 atau dalam tatatanda lain (1, 2) ialah penyelesaian kepada sistem ketaksamaan dengan dua pembolehubah, kerana 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistem ketaksamaan mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mungkin mempunyai bilangan penyelesaian yang terhingga, atau mungkin mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Orang sering bercakap tentang set penyelesaian kepada sistem ketidaksamaan. Apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian, maka terdapat satu set kosong penyelesaiannya. Apabila terdapat bilangan penyelesaian terhingga, maka set penyelesaian mengandungi bilangan unsur terhingga, dan apabila terdapat banyak penyelesaian terhingga, maka set penyelesaian terdiri daripada bilangan unsur terhingga.

Sesetengah sumber memperkenalkan definisi penyelesaian khusus dan umum kepada sistem ketidaksamaan, seperti, sebagai contoh, dalam buku teks Mordkovich. Di bawah penyelesaian persendirian sistem ketaksamaan faham satu keputusan dia. Pada gilirannya penyelesaian umum kepada sistem ketaksamaan- ini semua keputusan peribadinya. Walau bagaimanapun, istilah ini masuk akal hanya apabila perlu untuk menekankan secara khusus jenis penyelesaian yang kita bincangkan, tetapi biasanya ini sudah jelas dari konteks, lebih kerap mereka hanya mengatakan "penyelesaian kepada sistem ketidaksamaan."

Daripada takrifan sistem ketaksamaan dan penyelesaiannya yang diperkenalkan dalam artikel ini, ia berikutan bahawa penyelesaian kepada sistem ketaksamaan ialah persilangan set penyelesaian kepada semua ketaksamaan sistem ini.

Bibliografi.

Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G. Algebra. darjah 9. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-13, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 11. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am (peringkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-2, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
Peperiksaan Negeri Bersatu-2013. Matematik: pilihan peperiksaan standard: 30 pilihan / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Penerbitan “Pendidikan Negara”, 2012. – 192 hlm. – (USE-2013. FIPI - sekolah).

Ketaksamaan dan sistem ketaksamaan adalah salah satu topik yang diliputi dalam algebra di sekolah menengah. Dari segi tahap kesukaran, ia bukanlah yang paling sukar, kerana ia mempunyai peraturan mudah (lebih lanjut mengenainya sedikit kemudian). Sebagai peraturan, pelajar sekolah belajar menyelesaikan sistem ketidaksamaan dengan mudah. Ini juga disebabkan oleh fakta bahawa guru hanya "melatih" pelajar mereka mengenai topik ini. Dan mereka tidak boleh tidak melakukan ini, kerana ia dikaji pada masa hadapan menggunakan kuantiti matematik lain, dan juga diuji pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dan Peperiksaan Negeri Bersepadu. Dalam buku teks sekolah, topik ketidaksamaan dan sistem ketidaksamaan dibincangkan dengan sangat terperinci, jadi jika anda akan mempelajarinya, sebaiknya gunakannya. Artikel ini hanya meringkaskan bahan yang lebih besar dan mungkin terdapat beberapa peninggalan.

Konsep sistem ketaksamaan

Jika kita beralih kepada bahasa saintifik, kita boleh menentukan konsep "sistem ketaksamaan". Ini adalah model matematik yang mewakili beberapa ketaksamaan. Model ini, tentu saja, memerlukan penyelesaian, dan ini akan menjadi jawapan umum untuk semua ketaksamaan sistem yang dicadangkan dalam tugas (biasanya ini ditulis di dalamnya, sebagai contoh: "Selesaikan sistem ketaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6... "). Walau bagaimanapun, sebelum beralih kepada jenis dan kaedah penyelesaian, anda perlu memahami sesuatu yang lain.

Sistem ketaksamaan dan sistem persamaan

Apabila mempelajari topik baru, salah faham sering timbul. Di satu pihak, semuanya jelas dan anda ingin mula menyelesaikan tugas secepat mungkin, tetapi sebaliknya, beberapa detik kekal dalam "bayangan" dan tidak difahami sepenuhnya. Selain itu, beberapa elemen pengetahuan yang telah diperoleh mungkin berkait dengan yang baharu. Akibat daripada "bertindih" ini, ralat sering berlaku.

Oleh itu, sebelum kita mula menganalisis topik kita, kita harus ingat perbezaan antara persamaan dan ketaksamaan dan sistemnya. Untuk melakukan ini, kita perlu sekali lagi menerangkan apa yang diwakili oleh konsep matematik ini. Persamaan sentiasa persamaan, dan ia sentiasa sama dengan sesuatu (dalam matematik perkataan ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketaksamaan ialah model di mana satu nilai sama ada lebih besar atau kurang daripada yang lain, atau mengandungi pernyataan bahawa mereka tidak sama. Oleh itu, dalam kes pertama, adalah sesuai untuk bercakap tentang kesaksamaan, dan dalam yang kedua, tidak kira betapa jelasnya ia mungkin terdengar dari nama itu sendiri, tentang ketidaksamaan data awal. Sistem persamaan dan ketaksamaan secara praktikalnya tidak berbeza antara satu sama lain dan kaedah untuk menyelesaikannya adalah sama. Satu-satunya perbezaan ialah dalam kes pertama persamaan digunakan, dan dalam kes kedua ketidaksamaan digunakan.

Jenis-jenis ketidaksamaan

Terdapat dua jenis ketaksamaan: berangka dan dengan pembolehubah yang tidak diketahui. Jenis pertama mewakili kuantiti yang disediakan (nombor) yang tidak sama antara satu sama lain, contohnya, 8 > 10. Yang kedua ialah ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah yang tidak diketahui (ditandakan dengan huruf abjad Latin, selalunya X). Pembolehubah ini perlu dicari. Bergantung pada bilangannya, model matematik membezakan antara ketaksamaan dengan satu (ia membentuk sistem ketaksamaan dengan satu pembolehubah) atau beberapa pembolehubah (mereka membentuk sistem ketaksamaan dengan beberapa pembolehubah).

Dua jenis terakhir, mengikut tahap pembinaannya dan tahap kerumitan penyelesaian, dibahagikan kepada mudah dan kompleks. Yang mudah juga dipanggil ketaksamaan linear. Mereka pula dibahagikan kepada ketat dan tidak ketat. Yang tegas secara khusus "mengatakan" bahawa satu kuantiti mestilah sama ada kurang atau lebih, jadi ini adalah ketidaksamaan tulen. Beberapa contoh boleh diberikan: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dsb. Yang tidak ketat juga termasuk kesaksamaan. Iaitu, satu nilai boleh lebih besar daripada atau sama dengan nilai lain (tanda “≥”) atau kurang daripada atau sama dengan nilai lain (tanda “≤”). Walaupun dalam ketaksamaan linear, pembolehubah tidak berada pada akar, kuasa dua, atau boleh dibahagikan dengan apa-apa, itulah sebabnya ia dipanggil "mudah." Yang kompleks melibatkan pembolehubah tidak diketahui yang memerlukan lebih banyak matematik untuk dicari. Mereka sering terletak dalam segi empat sama, kubus atau di bawah punca, mereka boleh menjadi modular, logaritma, pecahan, dll. Tetapi kerana tugas kita ialah keperluan untuk memahami penyelesaian sistem ketaksamaan, kita akan bercakap tentang sistem ketaksamaan linear . Walau bagaimanapun, sebelum itu, beberapa perkataan harus dikatakan tentang sifat mereka.

Sifat ketaksamaan

Sifat-sifat ketaksamaan termasuk yang berikut:

Tanda ketaksamaan diterbalikkan jika operasi digunakan untuk menukar susunan sisi (contohnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 2 ≥ t 1).
Kedua-dua belah ketaksamaan membenarkan anda menambah nombor yang sama pada dirinya sendiri (contohnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 1 + nombor ≤ t 2 + nombor).
Dua atau lebih ketaksamaan dengan tanda dalam arah yang sama membenarkan sisi kiri dan kanannya ditambah (contohnya, jika t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, maka t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
Kedua-dua bahagian ketaksamaan boleh didarab atau dibahagikan dengan nombor positif yang sama (contohnya, jika t 1 ≤ t 2 dan nombor ≤ 0, maka nombor · t 1 ≥ nombor · t 2).
Dua atau lebih ketaksamaan yang mempunyai sebutan positif dan tanda dalam arah yang sama membenarkan diri mereka didarab antara satu sama lain (contohnya, jika t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 kemudian t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
Kedua-dua bahagian ketidaksamaan membenarkan diri mereka didarab atau dibahagikan dengan nombor negatif yang sama, tetapi dalam kes ini tanda ketidaksamaan berubah (contohnya, jika t 1 ≤ t 2 dan nombor ≤ 0, maka nombor · t 1 ≥ nombor · t 2).
Semua ketaksamaan mempunyai sifat transitif (contohnya, jika t 1 ≤ t 2 dan t 2 ≤ t 3, maka t 1 ≤ t 3).

Sekarang, selepas mengkaji prinsip asas teori yang berkaitan dengan ketidaksamaan, kita boleh meneruskan secara langsung kepada pertimbangan peraturan untuk menyelesaikan sistem mereka.

Menyelesaikan sistem ketaksamaan. Maklumat am. Penyelesaian

Seperti yang dinyatakan di atas, penyelesaiannya ialah nilai pembolehubah yang sesuai untuk semua ketaksamaan sistem yang diberikan. Menyelesaikan sistem ketaksamaan ialah pelaksanaan operasi matematik yang akhirnya membawa kepada penyelesaian kepada keseluruhan sistem atau membuktikan bahawa ia tidak mempunyai penyelesaian. Dalam kes ini, pembolehubah dikatakan tergolong dalam set berangka kosong (ditulis seperti berikut: huruf yang menunjukkan pembolehubah∈ (tanda “kepunyaan”) ø (tanda “set kosong”), contohnya, x ∈ ø (baca: “Pembolehubah “x” tergolong dalam set kosong”). Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan: kaedah grafik, algebra, penggantian. Perlu diingat bahawa mereka merujuk kepada model matematik yang mempunyai beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Dalam kes di mana hanya terdapat satu, kaedah selang adalah sesuai.

Kaedah grafik

Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan beberapa kuantiti yang tidak diketahui (daripada dua dan ke atas). Terima kasih kepada kaedah ini, sistem ketaksamaan linear boleh diselesaikan dengan mudah dan cepat, jadi ia adalah kaedah yang paling biasa. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa memplot graf mengurangkan jumlah penulisan operasi matematik. Ia menjadi sangat menyenangkan untuk berehat sedikit dari pena, mengambil pensel dengan pembaris dan mulakan tindakan selanjutnya dengan bantuan mereka apabila banyak kerja telah dilakukan dan anda mahukan sedikit kelainan. Walau bagaimanapun, sesetengah orang tidak menyukai kaedah ini kerana mereka perlu melepaskan diri daripada tugas dan menukar aktiviti mental mereka kepada melukis. Walau bagaimanapun, ini adalah kaedah yang sangat berkesan.

Untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan menggunakan kaedah grafik, adalah perlu untuk memindahkan semua terma setiap ketaksamaan ke sebelah kirinya. Tanda-tanda akan diterbalikkan, sifar hendaklah ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap ketaksamaan perlu ditulis secara berasingan. Akibatnya, fungsi akan diperoleh daripada ketaksamaan. Selepas ini, anda boleh mengeluarkan pensel dan pembaris: kini anda perlu melukis graf bagi setiap fungsi yang diperolehi. Seluruh set nombor yang akan berada dalam selang persilangan mereka akan menjadi penyelesaian kepada sistem ketaksamaan.

Cara algebra

Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan dua pembolehubah yang tidak diketahui. Juga, ketidaksamaan mesti mempunyai tanda ketaksamaan yang sama (iaitu, ia mesti mengandungi sama ada hanya tanda "lebih besar daripada", atau hanya tanda "kurang daripada", dll.) Walaupun terdapat batasannya, kaedah ini juga lebih kompleks. Ia digunakan dalam dua peringkat.

Yang pertama melibatkan tindakan untuk menyingkirkan salah satu pembolehubah yang tidak diketahui. Mula-mula anda perlu memilihnya, kemudian semak kehadiran nombor di hadapan pembolehubah ini. Jika mereka tidak ada di sana (maka pembolehubah akan kelihatan seperti satu huruf), maka kita tidak mengubah apa-apa, jika ada (jenis pembolehubah akan menjadi, sebagai contoh, 5y atau 12y), maka perlu membuat pastikan bahawa dalam setiap ketaksamaan nombor di hadapan pembolehubah yang dipilih adalah sama. Untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan setiap sebutan ketaksamaan dengan faktor sepunya, contohnya, jika 3y ditulis dalam ketaksamaan pertama, dan 5y dalam kedua, maka anda perlu mendarabkan semua sebutan ketaksamaan pertama dengan 5 , dan yang kedua dengan 3. Hasilnya ialah 15y dan 15y, masing-masing.

Tahap kedua penyelesaian. Ia adalah perlu untuk memindahkan bahagian kiri setiap ketaksamaan ke bahagian kanannya, menukar tanda setiap istilah ke sebaliknya, dan tulis sifar di sebelah kanan. Kemudian datang bahagian yang menyeronokkan: menyingkirkan pembolehubah yang dipilih (atau dikenali sebagai "pengurangan") sambil menambah ketaksamaan. Ini mengakibatkan ketidaksamaan dengan satu pembolehubah yang perlu diselesaikan. Selepas ini, anda harus melakukan perkara yang sama, hanya dengan pembolehubah lain yang tidak diketahui. Keputusan yang diperolehi akan menjadi penyelesaian sistem.

Kaedah penggantian

Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan jika boleh memperkenalkan pembolehubah baharu. Lazimnya, kaedah ini digunakan apabila pembolehubah yang tidak diketahui dalam satu sebutan ketaksamaan dinaikkan kepada kuasa keempat, dan dalam istilah lain ia kuasa dua. Oleh itu, kaedah ini bertujuan untuk mengurangkan tahap ketidaksamaan dalam sistem. Ketaksamaan sampel x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 diselesaikan dengan cara ini. Pembolehubah baru diperkenalkan, contohnya t. Mereka menulis: "Biar t = x 2," kemudian model itu ditulis semula dalam bentuk baharu. Dalam kes kami, kami mendapat t 2 - t - 1 ≤0. Ketaksamaan ini perlu diselesaikan menggunakan kaedah selang (lebih lanjut mengenainya sedikit kemudian), kemudian kembali kepada pembolehubah X, kemudian lakukan perkara yang sama dengan ketaksamaan yang lain. Jawapan yang diterima akan menjadi penyelesaian sistem.

Kaedah selang waktu

Ini adalah cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem ketidaksamaan, dan pada masa yang sama ia adalah universal dan meluas. Ia digunakan di sekolah menengah dan juga di sekolah tinggi. Intipatinya terletak pada fakta bahawa pelajar mencari selang ketaksamaan pada garis nombor, yang dilukis dalam buku nota (ini bukan graf, tetapi hanya garis biasa dengan nombor). Di mana selang ketaksamaan bersilang, penyelesaian kepada sistem ditemui. Untuk menggunakan kaedah selang, anda perlu mengikuti langkah berikut:

Semua istilah bagi setiap ketaksamaan dipindahkan ke sebelah kiri dengan tanda berubah kepada sebaliknya (sifar ditulis di sebelah kanan).
Ketaksamaan ditulis secara berasingan, dan penyelesaian bagi setiap daripadanya ditentukan.
Persilangan ketaksamaan pada garis nombor ditemui. Semua nombor yang terletak di persimpangan ini akan menjadi penyelesaian.

Kaedah manakah yang harus saya gunakan?

Jelas sekali yang kelihatan paling mudah dan paling mudah, tetapi terdapat kes apabila tugas memerlukan kaedah tertentu. Selalunya mereka mengatakan bahawa anda perlu menyelesaikan sama ada menggunakan graf atau kaedah selang. Kaedah algebra dan penggantian digunakan sangat jarang atau tidak sama sekali, kerana ia agak rumit dan mengelirukan, dan selain itu, ia lebih digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada ketaksamaan, jadi anda harus menggunakan graf dan selang waktu. Mereka membawa kejelasan, yang tidak boleh tidak menyumbang kepada pelaksanaan operasi matematik yang cekap dan pantas.

Jika sesuatu tidak berjaya

Semasa mempelajari topik tertentu dalam algebra, secara semula jadi, masalah mungkin timbul dengan pemahamannya. Dan ini adalah perkara biasa, kerana otak kita direka sedemikian rupa sehingga ia tidak dapat memahami bahan yang kompleks dalam satu masa. Selalunya anda perlu membaca semula perenggan, mendapatkan bantuan daripada guru, atau berlatih menyelesaikan tugasan standard. Dalam kes kami, mereka kelihatan, sebagai contoh, seperti ini: "Selesaikan sistem ketaksamaan 3 x + 1 ≥ 0 dan 2 x - 1 > 3." Oleh itu, keinginan peribadi, bantuan daripada orang luar dan amalan membantu dalam memahami sebarang topik yang kompleks.

Penyelesai?

Buku penyelesaian juga sangat sesuai, tetapi bukan untuk menyalin kerja rumah, tetapi untuk bantuan diri. Di dalamnya anda boleh menemui sistem ketidaksamaan dengan penyelesaian, melihatnya (sebagai templat), cuba memahami dengan tepat bagaimana pengarang penyelesaian mengatasi tugas itu, dan kemudian cuba melakukan perkara yang sama sendiri.

kesimpulan

Algebra adalah salah satu mata pelajaran yang paling sukar di sekolah. Nah, apa yang boleh anda lakukan? Matematik selalu seperti ini: bagi sesetengah orang ia mudah, tetapi bagi orang lain ia sukar. Tetapi dalam apa jua keadaan, harus diingat bahawa program pendidikan am disusun sedemikian rupa sehingga mana-mana pelajar dapat mengatasinya. Di samping itu, seseorang mesti mengingati bilangan pembantu yang besar. Sebahagian daripada mereka telah disebutkan di atas.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Hanya terdapat "X" dan hanya paksi absis, tetapi kini "Y" ditambah dan medan aktiviti berkembang ke seluruh satah koordinat. Selanjutnya dalam teks, frasa "ketaksamaan linear" difahami dalam erti kata dua dimensi, yang akan menjadi jelas dalam beberapa saat.

Sebagai tambahan kepada geometri analisis, bahan ini relevan untuk beberapa masalah dalam analisis matematik dan pemodelan ekonomi dan matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda mempelajari kuliah ini dengan penuh kesungguhan.

Ketaksamaan linear

Terdapat dua jenis ketaksamaan linear:

1) Tegas ketidaksamaan: .

2) longgar ketidaksamaan: .

Apakah maksud geometri bagi ketaksamaan ini? Jika persamaan linear mentakrifkan garis, maka ketaksamaan linear mentakrifkan separuh satah.

Untuk memahami maklumat berikut, anda perlu mengetahui jenis-jenis garisan pada satah dan boleh membina garis lurus. Jika anda mengalami sebarang kesulitan dalam bahagian ini, baca bantuan Graf dan sifat fungsi– perenggan tentang fungsi linear.

Mari kita mulakan dengan ketaksamaan linear yang paling mudah. Impian setiap pelajar miskin adalah pesawat koordinat yang tidak ada apa-apa:

Seperti yang anda ketahui, paksi-x diberikan oleh persamaan - "y" sentiasa (untuk sebarang nilai "x") sama dengan sifar

Mari kita pertimbangkan ketidaksamaan. Bagaimana untuk memahaminya secara tidak formal? “Y” sentiasa (untuk sebarang nilai “x”) positif. Jelas sekali, ketidaksamaan ini mentakrifkan satah separuh atas - lagipun, semua mata dengan "permainan" positif terletak di sana.

Sekiranya ketidaksamaan itu tidak ketat, ke atas separuh satah tambahan pula paksi itu sendiri ditambah.

Begitu juga: ketaksamaan dipenuhi oleh semua titik satah separuh bawah; ketaksamaan tidak ketat sepadan dengan paksi separuh rendah + satah.

Kisah prosaik yang sama adalah dengan paksi-y:

– ketaksamaan menentukan separuh satah kanan;
– ketaksamaan menentukan separuh satah kanan, termasuk paksi ordinat;
– ketaksamaan menentukan separuh satah kiri;
– ketaksamaan menentukan separuh satah kiri, termasuk paksi ordinat.

Dalam langkah kedua, kami mempertimbangkan ketaksamaan di mana salah satu pembolehubah hilang.

Tiada "Y":

Atau tiada "x":

Ketidaksamaan ini boleh ditangani dengan dua cara: sila pertimbangkan kedua-dua pendekatan. Di sepanjang jalan, mari kita ingat dan satukan tindakan sekolah dengan ketidaksamaan, yang telah dibincangkan dalam kelas Domain Fungsi.

Contoh 1

Selesaikan ketaksamaan linear:

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan ketaksamaan linear?

Menyelesaikan ketaksamaan linear bermakna mencari separuh satah, yang matanya memenuhi ketidaksamaan ini (ditambah dengan garis itu sendiri, jika ketaksamaan itu tidak ketat). Penyelesaian, biasanya, grafik.

Lebih mudah untuk melaksanakan lukisan dengan segera dan kemudian mengulas segala-galanya:

a) Selesaikan ketaksamaan

Kaedah satu

Kaedah ini sangat mengingatkan cerita dengan paksi koordinat, yang kami bincangkan di atas. Ideanya adalah untuk mengubah ketaksamaan - untuk meninggalkan satu pembolehubah di sebelah kiri tanpa sebarang pemalar, dalam kes ini pembolehubah "x".

peraturan: Dalam ketidaksamaan, terma dipindahkan dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda, manakala tanda ketidaksamaan itu SENDIRI tidak berubah(contohnya, jika terdapat tanda "kurang daripada", maka ia akan kekal "kurang daripada").

Kami memindahkan "lima" ke sebelah kanan dengan perubahan tanda:

peraturan POSITIF tidak berubah.

Sekarang lukis garis lurus (garis putus-putus biru). Garis lurus dilukis sebagai garis putus-putus kerana ketaksamaan tegas, dan mata kepunyaan baris ini pastinya tidak akan disertakan dalam penyelesaian.

Apakah maksud ketidaksamaan? “X” sentiasa (untuk sebarang nilai “Y”) kurang daripada . Jelas sekali, kenyataan ini berpuas hati dengan semua titik separuh satah kiri. Separuh satah ini, pada dasarnya, boleh dilorek, tetapi saya akan mengehadkan diri saya kepada anak panah biru kecil supaya tidak menjadikan lukisan itu menjadi palet artistik.

Kaedah kedua

Ini adalah kaedah universal. BACA DENGAN TELITI!

Mula-mula kita lukis garis lurus. Untuk kejelasan, dengan cara ini, adalah dinasihatkan untuk membentangkan persamaan dalam bentuk .

Sekarang pilih mana-mana titik pada satah, bukan milik langsung. Dalam kebanyakan kes, titik manisnya, sudah tentu. Mari kita gantikan koordinat titik ini ke dalam ketaksamaan:

Menerima ketidaksamaan palsu(dalam kata mudah, ini tidak boleh), ini bermakna bahawa perkara itu tidak memenuhi ketidaksamaan.

Peraturan utama tugas kami:
tidak memuaskan ketidaksamaan, maka SEMUA titik separuh satah tertentu tidak memuaskan ketidaksamaan ini.
– Jika mana-mana titik separuh satah (bukan kepunyaan garis) memuaskan ketidaksamaan, maka SEMUA titik separuh satah tertentu memuaskan ketidaksamaan ini.

Anda boleh menguji: mana-mana titik di sebelah kanan garisan tidak akan memenuhi ketaksamaan.

Apakah kesimpulan daripada eksperimen dengan titik itu? Tiada tempat untuk pergi, ketidaksamaan dipenuhi oleh semua mata yang lain - separuh satah kiri (anda juga boleh menyemak).

b) Selesaikan ketaksamaan

Kaedah satu

Mari kita ubah ketidaksamaan:

peraturan: Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab (dibahagi) dengan NEGATIF nombor, dengan tanda ketaksamaan BERUBAH ke sebaliknya (contohnya, jika terdapat tanda "lebih besar daripada atau sama", ia akan menjadi "kurang daripada atau sama").

Kami mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan:

Mari kita lukis garis lurus (merah), dan lukis garis pepejal, kerana kita mempunyai ketaksamaan tidak ketat, dan garis lurus jelas tergolong dalam penyelesaian.

Setelah menganalisis ketidaksamaan yang terhasil, kami membuat kesimpulan bahawa penyelesaiannya ialah separuh satah bawah (+ garis lurus itu sendiri).

Kami menandai atau menandai separuh satah yang sesuai dengan anak panah.

Kaedah kedua

Mari kita lukis garis lurus. Mari kita pilih titik sewenang-wenangnya pada satah (bukan kepunyaan garis), sebagai contoh, dan gantikan koordinatnya ke dalam ketidaksamaan kita:

Menerima ketidaksamaan sebenar, yang bermaksud bahawa titik itu memenuhi ketaksamaan, dan secara amnya, SEMUA titik separuh satah bawah memenuhi ketaksamaan ini.

Di sini, dengan titik percubaan, kami "memukul" separuh satah yang dikehendaki.

Penyelesaian kepada masalah ditunjukkan oleh garis merah dan anak panah merah.

Secara peribadi, saya lebih suka penyelesaian pertama, kerana yang kedua lebih formal.

Contoh 2

Selesaikan ketaksamaan linear:

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Cuba selesaikan masalah dalam dua cara (by the way, ini adalah cara yang baik untuk menyemak penyelesaian). Jawapan pada akhir pelajaran hanya akan mengandungi lukisan akhir.

Saya fikir selepas semua tindakan yang dilakukan dalam contoh, anda perlu mengahwini mereka; tidak sukar untuk menyelesaikan ketidaksamaan paling mudah seperti, dsb.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan kes umum ketiga, apabila kedua-dua pembolehubah hadir dalam ketaksamaan:

Sebagai alternatif, istilah bebas "ce" mungkin sifar.

Contoh 3

Cari separuh satah sepadan dengan ketaksamaan berikut:

Penyelesaian: Kaedah penyelesaian universal dengan penggantian titik digunakan di sini.

a) Mari kita bina persamaan untuk garis lurus, dan garis itu hendaklah dilukis sebagai garis putus-putus, kerana ketaksamaan adalah ketat dan garis lurus itu sendiri tidak akan dimasukkan ke dalam penyelesaian.

Kami memilih titik percubaan satah yang bukan milik garis tertentu, sebagai contoh, dan menggantikan koordinatnya ke dalam ketaksamaan kami:

Menerima ketidaksamaan palsu, yang bermaksud bahawa titik dan SEMUA titik bagi separuh satah tertentu tidak memenuhi ketaksamaan. Penyelesaian kepada ketidaksamaan akan menjadi satu lagi separuh satah, mari kita mengagumi kilat biru:

b) Mari kita selesaikan ketaksamaan. Pertama, mari kita bina garis lurus. Ini tidak sukar untuk dilakukan; kami mempunyai perkadaran langsung kanonik. Kami melukis garis secara berterusan, kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.

Marilah kita memilih titik arbitrari satah yang tidak tergolong dalam garis lurus. Saya ingin menggunakan asal semula, tetapi, sayangnya, ia tidak sesuai sekarang. Oleh itu, anda perlu bekerja dengan rakan lain. Adalah lebih menguntungkan untuk mengambil mata dengan nilai koordinat kecil, sebagai contoh, . Mari kita gantikan koordinatnya ke dalam ketidaksamaan kita:

Menerima ketidaksamaan sebenar, yang bermaksud bahawa titik dan semua titik separuh satah tertentu memenuhi ketaksamaan . Satah separuh yang dikehendaki ditandakan dengan anak panah merah. Di samping itu, penyelesaiannya termasuk garis lurus itu sendiri.

Contoh 4

Cari separuh satah sepadan dengan ketaksamaan:

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian lengkap, sampel anggaran reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita lihat masalah songsang:

Contoh 5

a) Diberi garis lurus. takrifkan separuh satah di mana titik itu terletak, manakala garis lurus itu sendiri mesti dimasukkan ke dalam penyelesaian.

b) Diberi garis lurus. takrifkan separuh satah di mana titik itu terletak. Garis lurus itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaian.

Penyelesaian: Tidak perlu lukisan di sini dan penyelesaiannya adalah analitikal. Tiada yang sukar:

a) Mari kita susun polinomial tambahan dan hitung nilainya pada titik:
. Oleh itu, ketidaksamaan yang diingini akan mempunyai tanda "kurang daripada". Dengan syarat, garis lurus dimasukkan ke dalam penyelesaian, jadi ketidaksamaan tidak akan ketat:

b) Mari kita susun polinomial dan hitung nilainya pada titik:
. Oleh itu, ketidaksamaan yang diingini akan mempunyai tanda "lebih besar daripada". Dengan syarat, garis lurus tidak termasuk dalam penyelesaian, oleh itu, ketidaksamaan akan menjadi ketat: .

Jawab:

Contoh kreatif untuk belajar sendiri:

Contoh 6

Diberi titik dan garis lurus. Di antara titik yang disenaraikan, cari titik yang, bersama-sama dengan asal koordinat, terletak pada sisi yang sama pada garis yang diberikan.

Sedikit petunjuk: pertama anda perlu mencipta ketaksamaan yang menentukan separuh satah di mana asal koordinat terletak. Penyelesaian analitikal dan jawapan pada akhir pelajaran.

Sistem ketaksamaan linear

Sistem ketaksamaan linear ialah, seperti yang anda faham, sistem yang terdiri daripada beberapa ketaksamaan. Lol, baik, saya memberikan definisi =) Landak adalah landak, pisau adalah pisau. Tetapi ia benar - ternyata mudah dan boleh diakses! Tidak, serius, saya tidak mahu memberikan sebarang contoh umum, jadi mari kita teruskan kepada isu yang mendesak:

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan linear?

Selesaikan sistem ketaksamaan linear- ini bermaksud cari set titik pada satah, yang memuaskan kepada setiap ketidaksamaan sistem.

Sebagai contoh paling mudah, pertimbangkan sistem ketaksamaan yang menentukan suku koordinat sistem koordinat segi empat tepat (“gambaran pelajar miskin” terdapat pada awal pelajaran):

Sistem ketaksamaan mentakrifkan suku koordinat pertama (kanan atas). Koordinat mana-mana titik pada suku pertama, contohnya, dan lain-lain. memuaskan kepada setiap ketidaksamaan sistem ini.

Begitu juga:
– sistem ketaksamaan menentukan suku koordinat kedua (kiri atas);
– sistem ketaksamaan mentakrifkan suku koordinat ketiga (kiri bawah);
– sistem ketaksamaan mentakrifkan suku koordinat keempat (kanan bawah).

Sistem ketaksamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian, iaitu, menjadi bukan sendi. Sekali lagi contoh paling mudah: . Agak jelas bahawa "x" tidak boleh serentak lebih daripada tiga dan kurang daripada dua.

Penyelesaian kepada sistem ketaksamaan boleh menjadi garis lurus, contohnya: . Angsa, udang karang, tanpa pike, menarik kereta ke dua arah berbeza. Ya, perkara masih ada - penyelesaian kepada sistem ini adalah garis lurus.

Tetapi kes yang paling biasa adalah apabila penyelesaian kepada sistem adalah beberapa kawasan kapal terbang. Kawasan penyelesaian Mungkin tidak terhad(contohnya, kuarters koordinat) atau terhad. Kawasan penyelesaian terhad dipanggil sistem penyelesaian poligon.

Contoh 7

Selesaikan sistem ketaksamaan linear

Dalam amalan, dalam kebanyakan kes kita perlu menangani ketidaksamaan yang lemah, jadi mereka akan menjadi orang yang mengetuai tarian bulat untuk sepanjang pelajaran.

Penyelesaian: Hakikat bahawa terdapat terlalu banyak ketidaksamaan tidak sepatutnya menakutkan. Berapa banyak ketaksamaan yang boleh terdapat dalam sistem? Ya, seberapa banyak yang anda suka. Perkara utama adalah mematuhi algoritma rasional untuk membina kawasan penyelesaian:

1) Mula-mula kita berurusan dengan ketidaksamaan yang paling mudah. Ketaksamaan menentukan suku koordinat pertama, termasuk sempadan paksi koordinat. Ia sudah lebih mudah, kerana kawasan carian telah mengecil dengan ketara. Dalam lukisan, kami segera menandakan separuh satah yang sepadan dengan anak panah (anak panah merah dan biru)

2) Ketaksamaan termudah kedua ialah tiada "Y" di sini. Pertama, kami membina garis lurus itu sendiri, dan, kedua, selepas menukar ketaksamaan kepada bentuk , ia serta-merta menjadi jelas bahawa semua "X" adalah kurang daripada 6. Kami menandakan separuh satah yang sepadan dengan anak panah hijau. Nah, kawasan carian telah menjadi lebih kecil - segi empat tepat seperti itu tidak terhad dari atas.

3) Pada langkah terakhir kita menyelesaikan ketidaksamaan "dengan peluru penuh": . Kami membincangkan algoritma penyelesaian secara terperinci dalam perenggan sebelumnya. Ringkasnya: mula-mula kita membina garis lurus, kemudian, menggunakan titik eksperimen, kita dapati separuh satah yang kita perlukan.

Berdirilah, anak-anak, berdiri dalam bulatan:

Kawasan penyelesaian sistem adalah poligon; dalam lukisan ia digariskan dengan garis merah dan berlorek. Saya berlebihan sedikit =) Dalam buku nota, sudah cukup untuk sama ada menaungi kawasan penyelesaian atau menggariskannya lebih berani dengan pensel ringkas.

Mana-mana titik poligon yang diberikan memenuhi SETIAP ketidaksamaan sistem (anda boleh menyemaknya untuk keseronokan).

Jawab: Penyelesaian kepada sistem ialah poligon.

Apabila memohon salinan bersih, adalah idea yang baik untuk menerangkan secara terperinci mata yang anda gunakan untuk membina garis lurus (lihat pelajaran Graf dan sifat fungsi), dan cara separuh satah ditentukan (lihat perenggan pertama pelajaran ini). Walau bagaimanapun, dalam amalan, dalam kebanyakan kes, anda akan dikreditkan hanya dengan lukisan yang betul. Pengiraan itu sendiri boleh dilakukan pada draf atau secara lisan.

Sebagai tambahan kepada poligon penyelesaian sistem, dalam amalan, walaupun kurang kerap, terdapat kawasan terbuka. Cuba fahami sendiri contoh berikut. Walaupun, demi ketepatan, tiada penyeksaan di sini - algoritma pembinaan adalah sama, cuma kawasan itu tidak akan terhad.

Contoh 8

Selesaikan sistem

Penyelesaian dan jawapan ada di akhir pelajaran. Anda berkemungkinan besar akan mempunyai huruf yang berbeza untuk bucu kawasan yang terhasil. Ini tidak penting, perkara utama ialah mencari bucu dengan betul dan membina kawasan dengan betul.

Ia bukan sesuatu yang luar biasa apabila masalah memerlukan bukan sahaja membina domain penyelesaian sistem, tetapi juga mencari koordinat bucu domain. Dalam dua contoh sebelumnya, koordinat titik ini jelas, tetapi dalam praktiknya semuanya jauh dari ais:

Contoh 9

Selesaikan sistem dan cari koordinat bucu kawasan yang terhasil

Penyelesaian: Mari kita gambarkan dalam lukisan kawasan penyelesaian sistem ini. Ketaksamaan mentakrifkan separuh satah kiri dengan paksi ordinat, dan tiada lagi freebie di sini. Selepas pengiraan pada salinan/draf akhir atau proses pemikiran mendalam, kami mendapat kawasan penyelesaian berikut: