Grafické riešenie sústav lineárnych nerovníc. Nerovnosť

Pozrime sa na príklady riešenia sústavy lineárnych nerovníc.

4x + 29 \end(pole) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Na vyriešenie systému potrebujete každú z jeho základných nerovností. Padlo len rozhodnutie nepísať oddelene, ale spoločne, skombinovať ich s kučeravou zátvorkou.

V každej z nerovností sústavy posúvame neznáme na jednu stranu, známe na druhú s opačným znamienkom:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Po zjednodušení treba obe strany nerovnosti vydeliť číslom pred X. Prvú nerovnosť delíme kladným číslom, takže znamienko nerovnosti sa nemení. Druhú nerovnosť delíme záporným číslom, takže znamienko nerovnosti musí byť obrátené:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Riešenie nerovností označíme na číselných radoch:

Ako odpoveď zapíšeme priesečník riešení, to znamená časť, kde je tieňovanie na oboch riadkoch.

Odpoveď: x∈[-2;1).

V prvej nerovnosti sa zbavme zlomku. Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe strany člen po člen najmenším spoločným menovateľom 2. Pri vynásobení kladným číslom sa znamienko nerovnosti nemení.

V druhej nerovnosti otvoríme zátvorky. Súčin súčtu a rozdielu dvoch výrazov sa rovná rozdielu druhých mocnín týchto výrazov. Na pravej strane je štvorec rozdielu medzi týmito dvoma výrazmi.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Neznáme presunieme na jednu stranu, známe na druhú opačným znamienkom a zjednodušíme:

Obidve strany nerovnosti vydelíme číslom pred X. V prvej nerovnosti delíme záporným číslom, takže znamienko nerovnosti je obrátené. V druhom delíme kladným číslom, znamienko nerovnosti sa nemení:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obe nerovnosti majú znamienko „menšie ako“ (nezáleží na tom, že jedno znamienko je striktne „menšie ako“, druhé je voľné, „menšie alebo rovné“). Nemôžeme označiť obe riešenia, ale použiť pravidlo „ “. Menšia je 1, preto sa systém redukuje na nerovnosť

Jeho riešenie označíme na číselnej osi:

Odpoveď: x∈(-∞;1].

Otváranie zátvoriek. V prvej nerovnosti - . Rovná sa súčtu kociek týchto výrazov.

V druhom súčin súčtu a rozdielu dvoch výrazov, ktorý sa rovná rozdielu druhých mocnín. Pretože tu je pred zátvorkami znamienko mínus, je lepšie ich otvoriť v dvoch fázach: najprv použite vzorec a až potom otvorte zátvorky a zmeňte znamienko každého výrazu na opak.

Neznáme posúvame jedným smerom, známe opačným znamienkom:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obe sú väčšie ako znamenia. Pomocou pravidla „viac ako viac“ redukujeme systém nerovností na jednu nerovnosť. Väčšie z týchto dvoch čísel je teda 5,

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Riešenie nerovnosti označíme na číselnej osi a zapíšeme odpoveď:

Odpoveď: x∈(5;∞).

Keďže v algebrických systémoch sa lineárne nerovnice vyskytujú nielen ako samostatné úlohy, ale aj pri riešení rôznych druhov rovníc, nerovníc a pod., je dôležité si túto tému včas osvojiť.

Nabudúce sa pozrieme na príklady riešenia sústav lineárnych nerovníc v špeciálnych prípadoch, keď jedna z nerovníc nemá riešenia alebo je jej riešením ľubovoľné číslo.

Kategória: |

Tento článok poskytuje úvodné informácie o systémoch nerovností. Tu je definícia systému nerovností a definícia riešenia systému nerovností. Uvádzajú sa aj hlavné typy systémov, s ktorými sa na hodinách algebry v škole najčastejšie musí pracovať, a uvádzajú sa príklady.

Navigácia na stránke.

Čo je to systém nerovností?

Sústavy nerovníc je vhodné definovať rovnakým spôsobom, ako sme zaviedli definíciu sústavy rovníc, teda podľa typu zápisu a významu, ktorý je v ňom obsiahnutý.

Definícia.

Systém nerovností je záznam, ktorý predstavuje určitý počet nerovností zapísaných pod sebou, spojených vľavo zloženou zátvorkou a označuje množinu všetkých riešení, ktoré sú súčasne riešením každej nerovnosti systému.

Uveďme príklad systému nerovností. Zoberme si dve ľubovoľné, napríklad 2 x−3>0 a 5−x≥4 x−11, napíšme ich pod seba
2 x -3 > 0 ,
5-x≥4 x-11
a spojíme sa so systémovým znakom - zloženou zátvorkou, výsledkom je systém nerovností nasledujúceho tvaru:

Podobná predstava sa uvádza o systémoch nerovností v školských učebniciach. Stojí za zmienku, že ich definície sú uvedené užšie: pre nerovnosti s jednou premennou alebo s dvoma premennými.

Hlavné typy systémov nerovností

Je jasné, že je možné vytvoriť nekonečne veľa rôznych systémov nerovností. Aby ste sa v tejto rozmanitosti nestratili, je vhodné ich zvážiť v skupinách, ktoré majú svoje vlastné charakteristické črty. Všetky systémy nerovností možno rozdeliť do skupín podľa nasledujúcich kritérií:

počtom nerovností v systéme;
počtom premenných zahrnutých do zaznamenávania;
podľa typu samotných nerovností.

Na základe počtu nerovností zahrnutých v zázname sa rozlišujú systémy dva, tri, štyri atď. nerovnosti V predchádzajúcom odseku sme uviedli príklad systému, ktorý je systémom dvoch nerovností. Ukážme si ďalší príklad systému štyroch nerovností .

Samostatne si povieme, že nemá zmysel hovoriť o samotnom systéme nerovnosti, v tomto prípade v podstate hovoríme o nerovnosti samotnej, a nie o systéme.

Ak sa pozriete na počet premenných, potom existujú systémy nerovností s jednou, dvoma, tromi atď. premenné (alebo, ako sa tiež hovorí, neznáme). Pozrite sa na posledný systém nerovností napísaný o dva odseky vyššie. Je to systém s tromi premennými x, y a z. Upozorňujeme, že jej prvé dve nerovnosti neobsahujú všetky tri premenné, ale iba jednu z nich. V kontexte tohto systému ich treba chápať ako nerovnosti s tromi premennými v tvare x+0·y+0·z≥−2 a 0·x+y+0·z≤5. Všimnite si, že škola sa zameriava na nerovnosti s jednou premennou.

Zostáva diskutovať o tom, aké typy nerovností sú zahrnuté v záznamových systémoch. V škole uvažujú najmä o sústavách dvoch nerovností (menej často - troch, ešte zriedkavejšie - štyroch a viacerých) s jednou alebo dvoma premennými, pričom samotné nerovnosti sú zvyčajne celé nerovnosti prvý alebo druhý stupeň (menej často - vyššie stupne alebo čiastočne racionálne). Nebuďte však prekvapení, ak vo svojich prípravných materiáloch na Jednotnú štátnu skúšku narazíte na systémy nerovností obsahujúce iracionálne, logaritmické, exponenciálne a iné nerovnosti. Ako príklad uvádzame systém nerovností , je prevzaté z .

Aké je riešenie systému nerovností?

Uveďme si ďalšiu definíciu súvisiacu so sústavami nerovností – definíciu riešenia sústavy nerovností:

Definícia.

Riešenie sústavy nerovníc s jednou premennou sa nazýva taká hodnota premennej, ktorá mení každú z nerovností systému na pravdivú, inými slovami, je riešením každej nerovnosti systému.

Vysvetlíme si to na príklade. Zoberme si systém dvoch nerovníc s jednou premennou. Zoberme si hodnotu premennej x rovnú 8, je to z definície riešenie našej sústavy nerovníc, keďže jej dosadením do nerovníc sústavy vzniknú dve správne číselné nerovnosti 8>7 a 2−3·8≤0. Naopak, jednota nie je riešením systému, pretože pri jej dosadení za premennú x sa prvá nerovnosť zmení na nesprávnu číselnú nerovnosť 1>7.

Podobne môžete zaviesť definíciu riešenia systému nerovností s dvoma, tromi alebo viacerými premennými:

Definícia.

Riešenie sústavy nerovníc s dvojkou, trojkou atď. premenných nazývaný pár, tri atď. hodnoty týchto premenných, čo je zároveň riešením každej nerovnosti systému, teda premení každú nerovnosť systému na správnu číselnú nerovnosť.

Napríklad dvojica hodnôt x=1, y=2 alebo v inom zápise (1, 2) je riešením systému nerovností s dvoma premennými, keďže 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systémy nerovníc nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať konečný počet riešení alebo môžu mať nekonečný počet riešení. Ľudia často hovoria o súbore riešení systému nerovností. Keď systém nemá žiadne riešenia, potom existuje prázdna množina jeho riešení. Keď existuje konečný počet riešení, potom množina riešení obsahuje konečný počet prvkov, a keď existuje nekonečne veľa riešení, potom množina riešení pozostáva z nekonečného počtu prvkov.

Niektoré zdroje uvádzajú definície konkrétneho a všeobecného riešenia sústavy nerovností, ako napríklad v Mordkovichových učebniciach. Pod súkromné riešenie systému nerovností pochopiť jej jediné rozhodnutie. Vo svojom poradí všeobecné riešenie systému nerovností- to všetko sú jej súkromné rozhodnutia. Tieto výrazy však dávajú zmysel len vtedy, keď je potrebné konkrétne zdôrazniť, o akom riešení hovoríme, no väčšinou je to jasné už z kontextu, oveľa častejšie sa hovorí len o „riešení systému nerovností“.

Z definícií sústavy nerovníc a jej riešení uvedených v tomto článku vyplýva, že riešenie sústavy nerovníc je priesečníkom množín riešení všetkých nerovností tohto systému.

Bibliografia.

Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročníka. V 2 častiach.1.časť.Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník Za 2 hod.časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
Jednotná štátna skúška-2013. Matematika: štandardné možnosti skúšky: 30 možností / ed. A. L. Semenová, I. V. Jaščenko. – M.: Vydavateľstvo „Národné školstvo“, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - škola).

Nerovnosti a sústavy nerovníc sú jednou z tém preberaných v algebre na strednej škole. Z hľadiska náročnosti nie je najťažšia, keďže má jednoduché pravidlá (o nich neskôr). Školáci sa spravidla učia riešiť sústavy nerovností pomerne jednoducho. Je to spôsobené aj tým, že učitelia svojich žiakov na túto tému jednoducho „vyškolia“. A nemôžu to urobiť, pretože sa to v budúcnosti študuje pomocou iných matematických veličín a testuje sa aj na jednotnej štátnej skúške a jednotnej štátnej skúške. V školských učebniciach je téma nerovností a sústav nerovníc spracovaná veľmi podrobne, takže ak sa ju chystáte študovať, je najlepšie uchýliť sa k nim. Tento článok iba sumarizuje väčší materiál a môžu sa v ňom vyskytovať určité nedostatky.

Koncept systému nerovností

Ak sa obrátime na vedecký jazyk, môžeme definovať pojem „systém nerovností“. Ide o matematický model, ktorý predstavuje niekoľko nerovností. Tento model si samozrejme vyžaduje riešenie a toto bude všeobecná odpoveď na všetky nerovnosti systému navrhnutého v úlohe (zvyčajne sa v ňom píše napr.: „Vyriešte sústavu nerovností 4 x + 1 > 2 a 30 - x > 6...“). Predtým, ako prejdeme k typom a metódam riešení, však musíte pochopiť niečo iné.

Sústavy nerovníc a sústavy rovníc

Pri učení sa novej témy často vznikajú nedorozumenia. Na jednej strane je všetko jasné a chcete začať riešiť úlohy čo najskôr, ale na druhej strane niektoré momenty zostávajú v „tieni“ a nie sú úplne pochopené. Niektoré prvky už nadobudnutých vedomostí sa môžu tiež prelínať s novými. V dôsledku tohto „prekrývania“ sa často vyskytujú chyby.

Preto skôr, ako začneme analyzovať našu tému, mali by sme si spomenúť na rozdiely medzi rovnicami a nerovnicami a ich sústavami. Aby sme to dosiahli, musíme ešte raz vysvetliť, čo tieto matematické pojmy predstavujú. Rovnica je vždy rovnosť a vždy sa niečomu rovná (v matematike sa toto slovo označuje znakom "="). Nerovnosť je model, v ktorom je jedna hodnota väčšia alebo menšia ako iná, alebo obsahuje tvrdenie, že nie sú rovnaké. V prvom prípade je teda vhodné hovoriť o rovnosti a v druhom, akokoľvek to môže znieť zo samotného názvu, o nerovnosti počiatočných údajov. Sústavy rovníc a nerovníc sa od seba prakticky nelíšia a spôsoby ich riešenia sú rovnaké. Jediný rozdiel je v tom, že v prvom prípade sa používajú rovnosti a v druhom prípade sa používajú nerovnosti.

Druhy nerovností

Existujú dva typy nerovností: numerické a s neznámou premennou. Prvý typ predstavuje poskytnuté veličiny (čísla), ktoré sa navzájom nerovnajú, napríklad 8 > 10. Druhým sú nerovnosti, ktoré obsahujú neznámu premennú (označujú sa písmenom latinskej abecedy, najčastejšie X). Túto premennú je potrebné nájsť. Podľa toho, koľko ich je, matematický model rozlišuje nerovnosti s jednou (tvoria sústavu nerovností s jednou premennou) alebo viacerými premennými (tvoria sústavu nerovností s viacerými premennými).

Posledné dva typy sa podľa stupňa ich konštrukcie a úrovne zložitosti riešenia delia na jednoduché a zložité. Jednoduché sa nazývajú aj lineárne nerovnosti. Tie sa zase delia na prísne a neprísne. Prísne konkrétne „hovoria“, že jedna veličina musí byť nevyhnutne buď menšia alebo väčšia, takže ide o čistú nerovnosť. Možno uviesť niekoľko príkladov: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 atď. Medzi neprísne patrí aj rovnosť. To znamená, že jedna hodnota môže byť väčšia alebo rovná inej hodnote (znak „≥“) alebo menšia alebo rovná inej hodnote (znamienko „≤“). Dokonca ani v lineárnych nerovnostiach nie je premenná odmocnina, druhá mocnina ani niečím deliteľná, a preto sa nazývajú „jednoduché“. Komplexné zahŕňajú neznáme premenné, ktorých nájdenie vyžaduje viac matematiky. Často sa nachádzajú v štvorci, kocke alebo pod odmocninou, môžu byť modulárne, logaritmické, zlomkové atď. Ale keďže našou úlohou je porozumieť riešeniu sústav nerovníc, budeme hovoriť o sústave lineárnych nerovníc. . Ešte predtým však treba povedať pár slov o ich vlastnostiach.

Vlastnosti nerovností

Medzi vlastnosti nerovností patria:

Znamienko nerovnosti sa obráti, ak sa operácia použije na zmenu poradia strán (napríklad ak t 1 ≤ t 2, potom t 2 ≥ t 1).
Obe strany nerovnosti vám umožňujú pridať k sebe rovnaké číslo (napríklad ak t 1 ≤ t 2, potom t 1 + číslo ≤ t 2 + číslo).
Dve alebo viac nerovností so znamienkom v rovnakom smere umožňujú sčítanie ich ľavej a pravej strany (napríklad ak t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, potom t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
Obidve časti nerovnosti možno vynásobiť alebo rozdeliť rovnakým kladným číslom (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a číslo ≤ 0, potom číslo · t 1 ≥ číslo · t 2).
Dve alebo viac nerovností, ktoré majú kladné členy a znamienko v rovnakom smere, sa môžu navzájom vynásobiť (napríklad ak t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 potom t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
Obe časti nerovnosti sa dajú vynásobiť alebo deliť rovnakým záporným číslom, ale v tomto prípade sa zmení znamienko nerovnosti (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a číslo ≤ 0, potom číslo · t 1 ≥ číslo · t 2).
Všetky nerovnosti majú vlastnosť tranzitivity (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a t 2 ≤ t 3, potom t 1 ≤ t 3).

Teraz, po preštudovaní základných princípov teórie súvisiacej s nerovnicami, môžeme pristúpiť priamo k úvahám o pravidlách riešenia ich systémov.

Riešenie systémov nerovností. Všeobecné informácie. Riešenia

Ako je uvedené vyššie, riešením sú hodnoty premennej, ktoré sú vhodné pre všetky nerovnosti daného systému. Riešenie systémov nerovností je implementácia matematických operácií, ktoré v konečnom dôsledku vedú k riešeniu celého systému alebo dokazujú, že nemá žiadne riešenia. V tomto prípade sa hovorí, že premenná patrí do prázdnej číselnej množiny (napísané takto: písmeno označujúce premennú∈ (znamienko „patrí“) ø (znamienko „prázdna množina“), napríklad x ∈ ø (čítaj: „Premenná „x“ patrí do prázdnej množiny“). Existuje niekoľko spôsobov riešenia systémov nerovníc: grafická, algebraická, substitučná metóda. Stojí za zmienku, že sa týkajú tých matematických modelov, ktoré majú niekoľko neznámych premenných. V prípade, že je len jeden, je vhodná intervalová metóda.

Grafická metóda

Umožňuje riešiť sústavu nerovníc s niekoľkými neznámymi veličinami (od dvoch a vyššie). Vďaka tejto metóde sa dá pomerne jednoducho a rýchlo vyriešiť sústava lineárnych nerovností, preto je to najbežnejšia metóda. Vysvetľuje sa to tým, že vykreslenie grafu znižuje množstvo zapisovaných matematických operácií. Je obzvlášť príjemné urobiť si malú prestávku od pera, zdvihnúť ceruzku s pravítkom a začať ďalšie akcie s ich pomocou, keď sa urobilo veľa práce a chcete trochu rozmanitosti. Niektorí ľudia však túto metódu nemajú radi, pretože sa musia odtrhnúť od úlohy a prepnúť svoju duševnú činnosť na kreslenie. Ide však o veľmi efektívnu metódu.

Na riešenie sústavy nerovníc pomocou grafickej metódy je potrebné preniesť všetky členy každej nerovnosti na ich ľavú stranu. Znamienka sa obrátia, nula by mala byť napísaná vpravo, potom je potrebné každú nerovnosť napísať samostatne. V dôsledku toho budú funkcie získané z nerovností. Potom môžete vybrať ceruzku a pravítko: teraz musíte nakresliť graf každej získanej funkcie. Celá množina čísel, ktoré budú v intervale ich priesečníka, bude riešením sústavy nerovníc.

Algebraickým spôsobom

Umožňuje vyriešiť systém nerovníc s dvoma neznámymi premennými. Taktiež nerovnosti musia mať rovnaké znamienko nerovnosti (to znamená, že musia obsahovať buď len znamienko „väčšie ako“, alebo len znamienko „menšie ako“ atď.) Napriek svojim obmedzeniam je táto metóda aj zložitejšia. Aplikuje sa v dvoch fázach.

Prvý zahŕňa akcie na zbavenie sa jednej z neznámych premenných. Najprv ju musíte vybrať a potom skontrolovať prítomnosť čísel pred touto premennou. Ak tam nie sú (premenná bude vyzerať ako jedno písmeno), tak nič nemeníme, ak tam sú (typ premennej bude napr. 5y alebo 12y), tak je potrebné urobiť uistite sa, že v každej nerovnosti je číslo pred vybranou premennou rovnaké. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý člen nerovností spoločným faktorom, napríklad ak je v prvej nerovnosti napísané 3y a v druhej 5y, potom musíte vynásobiť všetky členy prvej nerovnosti číslom 5. , a druhý o 3. Výsledkom je 15y a 15y.

Druhá fáza riešenia. Je potrebné preniesť ľavú stranu každej nerovnosti na pravú stranu, zmeniť znamienko každého termínu na opačné a napísať nulu na pravú stranu. Potom prichádza zábavná časť: zbavenie sa vybranej premennej (inak známeho ako „zníženie“) pri pridávaní nerovností. To má za následok nerovnosť s jednou premennou, ktorú je potrebné vyriešiť. Potom by ste mali urobiť to isté, len s inou neznámou premennou. Získané výsledky budú riešením systému.

Substitučná metóda

Umožňuje vyriešiť systém nerovností, ak je možné zaviesť novú premennú. Zvyčajne sa táto metóda používa, keď sa neznáma premenná v jednom člene nerovnosti zvýši na štvrtú mocninu a v druhom člene sa umocní na druhú. Táto metóda je teda zameraná na zníženie miery nerovností v systéme. Týmto spôsobom sa rieši výberová nerovnosť x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Zavádza sa nová premenná, napríklad t. Napíšu: „Nech t = x 2,“ potom sa model prepíše do novej formy. V našom prípade dostaneme t 2 - t - 1 ≤0. Túto nerovnosť je potrebné vyriešiť pomocou intervalovej metódy (o tom trochu neskôr), potom sa vrátiť k premennej X a potom urobiť to isté s ďalšou nerovnosťou. Prijaté odpovede budú riešením systému.

Intervalová metóda

Ide o najjednoduchší spôsob riešenia systémov nerovností a zároveň je univerzálny a rozšírený. Používa sa na stredných školách a dokonca aj na vysokých školách. Jej podstata spočíva v tom, že žiak hľadá intervaly nerovnice na číselnej osi, ktorá je nakreslená v zošite (toto nie je graf, ale len obyčajná čiara s číslami). Tam, kde sa pretínajú intervaly nerovností, sa nájde riešenie sústavy. Ak chcete použiť intervalovú metódu, musíte postupovať podľa týchto krokov:

Všetky členy každej nerovnosti sa prenesú na ľavú stranu, pričom znamienko sa zmení na opačné (napravo je napísaná nula).
Nerovnosti sa vypisujú samostatne a pre každú z nich sa určí riešenie.
Nájdu sa priesečníky nerovností na číselnej osi. Riešením budú všetky čísla umiestnené na týchto križovatkách.

Akú metódu mám použiť?

Jednoznačne ten, ktorý sa zdá byť najjednoduchší a najpohodlnejší, ale existujú prípady, keď úlohy vyžadujú určitú metódu. Najčastejšie hovoria, že musíte riešiť buď pomocou grafu, alebo intervalovou metódou. Algebraická metóda a substitúcia sa používajú veľmi zriedka alebo vôbec, pretože sú dosť zložité a mätúce a okrem toho sa používajú skôr na riešenie systémov rovníc ako nerovníc, takže by ste sa mali uchýliť k kresleniu grafov a intervalov. Prinášajú prehľadnosť, ktorá nemôže prispieť k efektívnemu a rýchlemu vykonávaniu matematických operácií.

Ak niečo nevyjde

Pri štúdiu konkrétnej témy v algebre, prirodzene, môžu nastať problémy s jej porozumením. A to je normálne, pretože náš mozog je navrhnutý tak, že nie je schopný porozumieť zložitému materiálu na jeden záťah. Často si potrebujete prečítať odsek, požiadať o pomoc učiteľa alebo si precvičiť riešenie štandardných úloh. V našom prípade vyzerajú napríklad takto: „Vyriešte sústavu nerovností 3 x + 1 ≥ 0 a 2 x - 1 > 3.“ Osobná túžba, pomoc od cudzincov a prax teda pomáhajú pochopiť akúkoľvek komplexnú tému.

Riešiteľ?

Veľmi vhodná je aj kniha riešení, nie však na kopírovanie domácich úloh, ale na svojpomoc. V nich môžete nájsť systémy nerovností s riešeniami, pozrieť sa na ne (ako šablóny), pokúsiť sa presne pochopiť, ako sa autor riešenia s úlohou vyrovnal, a potom sa pokúsiť urobiť to isté na vlastnú päsť.

závery

Algebra je jedným z najťažších predmetov v škole. No, čo môžeš robiť? Matematika bola vždy taká: pre niektorých je to ľahké, ale pre iných je to ťažké. V každom prípade však treba pamätať na to, že všeobecný vzdelávací program je štruktúrovaný tak, aby ho zvládol každý študent. Okrem toho treba mať na pamäti obrovské množstvo asistentov. Niektoré z nich boli spomenuté vyššie.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Existujú iba „X“ a iba os x, ale teraz sa pridajú „Y“ a pole činnosti sa rozširuje na celú rovinu súradníc. Ďalej v texte je výraz „lineárna nerovnosť“ chápaný v dvojrozmernom zmysle, čo bude jasné v priebehu niekoľkých sekúnd.

Okrem analytickej geometrie je materiál relevantný pre množstvo problémov z matematickej analýzy a ekonomického a matematického modelovania, preto odporúčam študovať túto prednášku so všetkou vážnosťou.

Lineárne nerovnosti

Existujú dva typy lineárnych nerovností:

1) Prísne nerovnosti: .

2) Laxný nerovnosti: .

Aký je geometrický význam týchto nerovností? Ak lineárna rovnica definuje priamku, potom definuje lineárna nerovnosť polorovina.

Aby ste porozumeli nasledujúcim informáciám, musíte poznať typy čiar v rovine a vedieť zostaviť priame čiary. Ak máte v tejto časti nejaké ťažkosti, prečítajte si pomocníka Grafy a vlastnosti funkcií– odsek o lineárnej funkcii.

Začnime s najjednoduchšími lineárnymi nerovnosťami. Snom každého chudobného študenta je súradnicová rovina, na ktorej nič nie je:

Ako viete, os x je daná rovnicou - „y“ sa vždy (pre akúkoľvek hodnotu „x“) rovná nule

Zoberme si nerovnosť. Ako tomu neformálne rozumieť? „Y“ je vždy (pre akúkoľvek hodnotu „x“) kladné. Je zrejmé, že táto nerovnosť definuje hornú polrovinu - koniec koncov sú tam umiestnené všetky body s pozitívnymi „hrami“.

V prípade, že nerovnosť nie je striktná, do hornej polroviny dodatočne pridáva sa samotná os.

Podobne: nerovnici vyhovujú všetky body dolnej polroviny, nestriktná nerovnosť zodpovedá dolnej polrovine + os.

Rovnaký prozaický príbeh je s osou y:

– nerovnosť určuje pravú polrovinu;
– nerovnosť určuje pravú polrovinu vrátane ordinátnej osi;
– nerovnosť určuje ľavú polrovinu;
– nerovnosť udáva ľavú polrovinu vrátane ordinátnej osi.

V druhom kroku uvažujeme o nerovnostiach, v ktorých jedna z premenných chýba.

Chýba "Y":

Alebo neexistuje „x“:

Tieto nerovnosti je možné riešiť dvoma spôsobmi: prosím zvážte oba prístupy. Popri tom si pamätajme a konsolidujme školské činy s nerovnosťami, o ktorých sa už diskutovalo v triede Funkčná doména.

Príklad 1

Riešenie lineárnych nerovností:

Čo znamená vyriešiť lineárnu nerovnosť?

Riešenie lineárnej nerovnosti znamená nájsť polrovinu, ktorého body vyhovujú tejto nerovnosti (plus samotná čiara, ak nerovnosť nie je striktná). Riešenie, zvyčajne, grafický.

Je pohodlnejšie okamžite vykonať kresbu a potom všetko komentovať:

a) Vyriešte nerovnosť

Metóda jedna

Metóda veľmi pripomína príbeh so súradnicovými osami, o ktorom sme hovorili vyššie. Cieľom je transformovať nerovnosť - ponechať jednu premennú na ľavej strane bez akýchkoľvek konštánt, v tomto prípade premennú „x“.

Pravidlo: Pri nerovnosti sa pojmy prenášajú z časti na časť so zmenou znamienka, zatiaľ čo znamienko nerovnosti SAMOTNÉ nemení(ak je tam napríklad znamienko „menej ako“, zostane „menej ako“).

Posúvame „päťku“ na pravú stranu so zmenou znamienka:

Pravidlo POZITÍVNY nemení.

Teraz nakreslite rovnú čiaru (modrá bodkovaná čiara). Priamka je nakreslená ako bodkovaná čiara, pretože nerovnosť prísny, a body patriace do tejto čiary určite nebudú zahrnuté do riešenia.

Čo znamená nerovnosť? „X“ je vždy (pre akúkoľvek hodnotu „Y“) menšie ako . Je zrejmé, že toto tvrdenie spĺňajú všetky body ľavej polroviny. Táto polrovina môže byť v zásade zatienená, ale obmedzím sa na malé modré šípky, aby sa kresba nezmenila na umeleckú paletu.

Metóda dva

Toto je univerzálna metóda. ČÍTAJTE VEĽMI POZORNE!

Najprv nakreslíme priamku. Mimochodom, pre prehľadnosť je vhodné uviesť rovnicu vo forme .

Teraz vyberte ľubovoľný bod v rovine, nepatriace do priameho. Vo väčšine prípadov je tou sladkou bodkou, samozrejme. Dosadíme súradnice tohto bodu do nerovnosti:

Prijaté falošná nerovnosť(jednoduchými slovami to nemôže byť), to znamená, že bod nespĺňa nerovnosť.

Kľúčové pravidlo našej úlohy:
nevyhovuje potom nerovnosť VŠETKY bodov danej polroviny neuspokojiť túto nerovnosť.
– Ak niektorý bod polroviny (nepatrí k priamke) uspokojuje potom nerovnosť VŠETKY bodov danej polroviny uspokojiť túto nerovnosť.

Môžete otestovať: akýkoľvek bod napravo od čiary nesplní nerovnosť.

Aký je záver z experimentu s pointou? Nie je kam ísť, nerovnosť vyhovujú všetky body druhej - ľavej polroviny (môžete aj skontrolovať).

b) Vyriešte nerovnosť

Metóda jedna

Poďme transformovať nerovnosť:

Pravidlo: Obe strany nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť). NEGATÍVNYčíslo so znamienkom nerovnosti ZMENA naopak (ak bolo napríklad znamienko „väčšie alebo rovné“, stane sa „menšie alebo rovné“).

Obe strany nerovnosti vynásobíme:

Nakreslíme rovnú čiaru (červenú) a nakreslíme plnú čiaru, keďže máme nerovnosť neprísne, a priamka k riešeniu zjavne patrí.

Po analýze výslednej nerovnosti dospejeme k záveru, že jej riešením je spodná polrovina (+ samotná priamka).

Šípkami zatienime alebo vyznačíme príslušnú polrovinu.

Metóda dva

Nakreslíme rovnú čiaru. Vyberme si ľubovoľný bod na rovine (nepatriaci do priamky) a dosadíme jeho súradnice do našej nerovnosti:

Prijaté skutočná nerovnosť, čo znamená, že bod spĺňa nerovnosť a vo všeobecnosti VŠETKY body spodnej polroviny spĺňajú túto nerovnosť.

Tu experimentálnym bodom „trafíme“ požadovanú polrovinu.

Riešenie problému je označené červenou čiarou a červenými šípkami.

Osobne preferujem prvé riešenie, keďže druhé je formálnejšie.

Príklad 2

Riešenie lineárnych nerovností:

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Pokúste sa problém vyriešiť dvoma spôsobmi (mimochodom, toto je dobrý spôsob, ako skontrolovať riešenie). Odpoveď na konci hodiny bude obsahovať iba záverečný výkres.

Myslím si, že po všetkých akciách vykonaných v príkladoch si ich budete musieť vziať, nebude ťažké vyriešiť najjednoduchšiu nerovnosť, ako je atď.

Prejdime k tretiemu, všeobecnému prípadu, keď sú obe premenné prítomné v nerovnosti:

Alternatívne môže byť voľný výraz "ce" nula.

Príklad 3

Nájdite polroviny zodpovedajúce nasledujúcim nerovnostiam:

Riešenie: Používa sa tu metóda univerzálneho riešenia s bodovou substitúciou.

a) Zostavme rovnicu pre priamku a čiara by mala byť nakreslená ako bodkovaná čiara, pretože nerovnosť je prísna a samotná priamka nebude zahrnutá do riešenia.

Vyberieme experimentálny bod roviny, ktorý nepatrí napríklad do danej priamky a dosadíme jeho súradnice do našej nerovnosti:

Prijaté falošná nerovnosť, čo znamená, že bod a VŠETKY body danej polroviny nespĺňajú nerovnosť. Riešením nerovnosti bude ďalšia polrovina, obdivujeme modré blesky:

b) Vyriešme nerovnosť. Najprv zostrojme priamku. Nie je to ťažké, máme kánonickú priamu úmernosť. Čiaru kreslíme priebežne, keďže nerovnosť nie je striktná.

Vyberme si ľubovoľný bod roviny, ktorý nepatrí do priamky. Chcel by som znova použiť pôvod, ale, bohužiaľ, teraz to nie je vhodné. Preto budete musieť spolupracovať s iným priateľom. Je výhodnejšie vziať bod s malými súradnicovými hodnotami, napríklad . Dosadíme jeho súradnice do našej nerovnosti:

Prijaté skutočná nerovnosť, čo znamená, že bod a všetky body danej polroviny spĺňajú nerovnosť . Požadovaná polrovina je označená červenými šípkami. Okrem toho riešenie zahŕňa aj samotnú priamku.

Príklad 4

Nájdite polroviny zodpovedajúce nerovnostiam:

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Kompletné riešenie, približná ukážka finálneho návrhu a odpoveď na konci hodiny.

Pozrime sa na inverzný problém:

Príklad 5

a) Daná priamka. Definujte polrovinu, v ktorej sa bod nachádza, pričom do riešenia treba zahrnúť aj samotnú priamku.

b) Daná priamka. Definujte polrovine, v ktorej sa nachádza bod. Samotná priamka nie je súčasťou riešenia.

Riešenie: Tu nie je potrebný výkres a riešenie bude analytické. Nič ťažké:

a) Zostavme si pomocný polynóm a vypočítajme jeho hodnotu v bode:
. Požadovaná nerovnosť teda bude mať znamienko „menšie ako“. Podľa podmienky je do riešenia zahrnutá priamka, takže nerovnosť nebude striktná:

b) Zostavme polynóm a vypočítajme jeho hodnotu v bode:
. Požadovaná nerovnosť teda bude mať znamienko „väčšie ako“. Podľa podmienky nie je v riešení zahrnutá priamka, preto bude nerovnosť striktná: .

Odpoveď:

Kreatívny príklad pre samoukov:

Príklad 6

Dané body a priamka. Medzi uvedenými bodmi nájdite tie, ktoré spolu s počiatkom súradníc ležia na tej istej strane danej priamky.

Malá nápoveda: najprv musíte vytvoriť nerovnosť, ktorá určí polrovinu, v ktorej sa nachádza počiatok súradníc. Analytické riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Sústavy lineárnych nerovníc

Systém lineárnych nerovností je, ako viete, systém zložený z niekoľkých nerovností. Lol, no, dal som definíciu =) Ježek je ježko, nôž je nôž. Ale je to pravda - ukázalo sa to jednoduché a dostupné! Nie, vážne, nechcem uvádzať žiadne všeobecné príklady, takže prejdime priamo k naliehavým problémom:

Čo znamená riešiť sústavu lineárnych nerovností?

Vyriešte sústavu lineárnych nerovníc- to znamená nájsť množinu bodov v rovine, ktoré uspokojujú každému nerovnosť systému.

Ako najjednoduchšie príklady zvážte systémy nerovností, ktoré určujú súradnicové štvrtiny pravouhlého súradnicového systému („obrázok chudobných študentov“ je na samom začiatku hodiny):

Systém nerovností definuje prvú súradnicovú štvrtinu (vpravo hore). Súradnice ktoréhokoľvek bodu v prvom štvrťroku, napr. atď. uspokojiť každému nerovnosť tohto systému.

Podobne:
– systém nerovností špecifikuje druhú súradnicovú štvrtinu (vľavo hore);
– systém nerovností definuje tretiu súradnicovú štvrtinu (vľavo dole);
– systém nerovností definuje štvrtú súradnicovú štvrtinu (vpravo dole).

Systém lineárnych nerovností nemusí mať žiadne riešenia, teda byť nekĺbový. Opäť najjednoduchší príklad: . Je celkom zrejmé, že „x“ nemôže byť súčasne viac ako tri a menej ako dva.

Riešením sústavy nerovníc môže byť priamka, napr.: . Labuť, rak, bez šťuky, ťahajúci vozík na dva rôzne smery. Áno, veci sú stále tam - riešením tohto systému je priamka.

Ale najčastejší prípad je, keď je riešenie systému nejaké rovinná oblasť. Oblasť riešenia Možno nie je obmedzený(napríklad súradnicové štvrte) príp obmedzené. Oblasť obmedzeného riešenia je tzv polygónový systém riešenia.

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych nerovníc

V praxi sa vo väčšine prípadov musíme vysporiadať so slabými nerovnosťami, takže po zvyšok hodiny budú viesť okrúhle tance práve oni.

Riešenie: Skutočnosť, že existuje príliš veľa nerovností, by nemala byť strašidelná. Koľko nerovností môže byť v systéme?Áno, koľko chcete. Hlavná vec je dodržiavať racionálny algoritmus na zostavenie oblasti riešenia:

1) Najprv sa zaoberáme najjednoduchšími nerovnosťami. Nerovnosti definujú prvú súradnicovú štvrtinu vrátane hranice súradnicových osí. Je to už oveľa jednoduchšie, pretože oblasť vyhľadávania sa výrazne zúžila. Na výkrese ihneď označíme zodpovedajúce polroviny šípkami (červené a modré šípky)

2) Druhá najjednoduchšia nerovnosť je, že tu nie je „Y“. Po prvé zostrojíme samotnú priamku a po druhé, po transformácii nerovnosti do tvaru je okamžite jasné, že všetky „X“ sú menšie ako 6. Zelenými šípkami označíme zodpovedajúcu polrovinu. No, oblasť vyhľadávania sa ešte zmenšila - taký obdĺžnik nie je zhora obmedzený.

3) V poslednom kroku riešime nerovnosti „plným strelivom“: . Algoritmus riešenia sme podrobne rozobrali v predchádzajúcom odseku. V skratke: najprv postavíme priamku, potom pomocou experimentálneho bodu nájdeme polrovinu, ktorú potrebujeme.

Postavte sa, deti, postavte sa do kruhu:

Oblasť riešenia systému je mnohouholník, na výkrese je ohraničený karmínovou čiarou a tieňovaný. Trošku som to prehnal =) V zošite stačí plochu riešenia buď vytieňovať, alebo tučnejšie obkresliť jednoduchou ceruzkou.

Akýkoľvek bod daného polygónu vyhovie KAŽDEJ nerovnosti systému (môžete si to zo srandy skontrolovať).

Odpoveď: Riešením systému je mnohouholník.

Pri žiadosti o čistopis by bolo dobré podrobne opísať, ktoré body ste použili na vytvorenie priamych čiar (pozri lekciu Grafy a vlastnosti funkcií) a ako boli určené polroviny (pozri prvý odsek tejto lekcie). V praxi sa vám však vo väčšine prípadov pripíše len správne nakreslenie. Samotné výpočty môžu byť vykonané na návrhu alebo dokonca ústne.

Okrem polygónu riešenia systému sa v praxi, aj keď menej často, vyskytuje otvorená oblasť. Skúste sami pochopiť nasledujúci príklad. Aj keď z dôvodu presnosti tu nie je žiadne mučenie - algoritmus konštrukcie je rovnaký, len oblasť nebude obmedzená.

Príklad 8

Vyriešte systém

Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie. S najväčšou pravdepodobnosťou budete mať rôzne písmená pre vrcholy výslednej oblasti. To nie je dôležité, hlavné je správne nájsť vrcholy a správne zostrojiť oblasť.

Nie je nezvyčajné, keď problémy vyžadujú nielen skonštruovanie domény riešenia systému, ale aj nájdenie súradníc vrcholov domény. V dvoch predchádzajúcich príkladoch boli súradnice týchto bodov zrejmé, ale v praxi je všetko ďaleko od ľadu:

Príklad 9

Vyriešte systém a nájdite súradnice vrcholov výslednej oblasti

Riešenie: Znázornime na výkrese oblasť riešenia tohto systému. Nerovnosť vymedzuje ľavú polrovinu so súradnicovou osou a už tu nie je žiadna voľka. Po výpočtoch konečného kópie/návrhu alebo hlbokých myšlienkových procesov dostaneme nasledujúcu oblasť riešení: