Cilat sisteme mund të zgjidhen me metodën Gaussian. Metoda gausiane

Që nga fillimi i shekujve XVI-XVIII, matematikanët filluan të studiojnë intensivisht funksionet, falë të cilave aq shumë kanë ndryshuar në jetën tonë. Teknologjia kompjuterike thjesht nuk do të ekzistonte pa këtë njohuri. Për të zgjidhur problemet komplekse, janë krijuar ekuacionet dhe funksionet lineare, janë krijuar koncepte të ndryshme, teorema dhe teknika zgjidhjeje. Një nga metodat dhe teknikat e tilla universale dhe racionale për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe sistemeve të tyre ishte metoda e Gausit. Matricat, renditja e tyre, përcaktorët - gjithçka mund të llogaritet pa përdorur operacione komplekse.

Farë është SLAE

Në matematikë, ekziston koncepti i SLAE - një sistem ekuacionesh algjebrike lineare. Si është ajo? Ky është një grup i ekuacioneve m me sasitë e kërkuara n të panjohura, të cilat zakonisht tregohen si x, y, z, ose x 1, x 2 ... x n, ose simbole të tjera. Të zgjidhësh këtë sistem me metodën e Gausit do të thotë të gjesh të gjitha të panjohurat e panjohura. Nëse një sistem ka të njëjtin numër të panjohurave dhe ekuacioneve, atëherë ai quhet një sistem n-rendi.

Metodat më të njohura për zgjidhjen e SLAE-ve

Në institucionet arsimore të arsimit të mesëm, ata studiojnë metoda të ndryshme të zgjidhjes së sistemeve të tilla. Më shpesh, këto janë ekuacione të thjeshta që përbëhen nga dy të panjohura, kështu që çdo metodë ekzistuese për gjetjen e një përgjigjeje për ta nuk do të marrë shumë kohë. Mund të jetë si një metodë zëvendësimi, kur një tjetër rrjedh nga një ekuacion dhe zëvendësohet në origjinal. Ose metoda e zbritjes dhe shtimit afat-pas-afatit. Por metoda e Gausit konsiderohet më e lehtë dhe më e shkathëta. Ai bën të mundur zgjidhjen e ekuacioneve me çdo numër të panjohurave. Pse konsiderohet racional kjo teknikë e veçantë? Është e thjeshtë. Gjëja e mirë në lidhje me metodën e matricës është se nuk ka nevojë të rishikoni disa herë simbole të panevojshme në formën e të panjohurave, mjafton të kryeni operacione aritmetike në koeficientët - dhe do të merrni një rezultat të besueshëm.

Ku përdoren SLAE në praktikë

Zgjidhja e SLAE është pikat e kryqëzimit të linjave në grafikët e funksioneve. Në epokën tonë të teknologjisë së lartë, njerëzit që janë të lidhur ngushtë me zhvillimin e lojërave dhe programeve të tjera duhet të dinë të zgjidhin sisteme të tilla, ato që përfaqësojnë dhe si të kontrollojnë korrektësinë e rezultatit. Më shpesh programuesit zhvillojnë programe speciale për llogaritjen e algjebër lineare, kjo përfshin një sistem të ekuacioneve lineare. Metoda e Gausit ju lejon të llogaritni të gjitha zgjidhjet ekzistuese. Përdoren edhe formula dhe teknika të tjera të thjeshtuara.

Kriteri i pajtueshmërisë SLAE

Një sistem i tillë mund të zgjidhet vetëm nëse është i pajtueshëm. Për qartësi, ne përfaqësojmë SLAE si Ax \u003d b. Ajo ka një zgjidhje nëse rang (A) është e barabartë me rang (A, b). Në këtë rast, (A, b) është një matricë e zgjatur që mund të merret nga matrica A duke e rishkruar atë me terma falas. Rezulton se zgjidhja e ekuacioneve lineare me metodën e Gausit është mjaft e lehtë.

Ndoshta disa nga shënimet nuk janë plotësisht të qarta, kështu që është e nevojshme të merren parasysh gjithçka me një shembull. Le të themi se ekziston një sistem: x + y \u003d 1; 2x-3y \u003d 6. Ai përbëhet nga vetëm dy ekuacione, në të cilat dy janë të panjohura. Sistemi do të ketë një zgjidhje vetëm nëse grada e matricës së saj është e barabartë me gradën e matricës së zgjatur. Farë është grada? Ky është numri i linjave të pavarura në sistem. Në rastin tonë, grada e matricës është 2. Matrica A do të përbëhet nga koeficientët që janë afër të panjohurve, dhe koeficientët pas shenjës "\u003d" përfshihen gjithashtu në matricën e zgjeruar.

Pse SLAE mund të përfaqësohet në formën e matricës

Bazuar në kriterin e përputhshmërisë sipas teoremës së vërtetuar Kronecker-Capelli, sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare mund të përfaqësohet në formën e matricës. Duke përdorur metodën e kaskadës Gaussian, ju mund të zgjidhni matricën dhe të merrni një përgjigje të vetme të besueshme për të gjithë sistemin. Nëse grada e një matricë të zakonshme është e barabartë me gradën e matricës së saj të zgjatur, por më pak se numri i të panjohurve, atëherë sistemi ka një numër të pafund përgjigjesh.

Shndërrimet në matricë

Para se të kaloni në zgjidhjen e matricave, duhet të dini se çfarë veprimesh mund të kryhen në elementet e tyre. Ekzistojnë disa transformime elementare:

Duke rishkruar sistemin në një formë matricë dhe duke zbatuar zgjidhjen e tij, është e mundur që të shumëzohen të gjithë elementët e serisë me të njëjtin koeficient.
Për ta kthyer matricën në formën kanonike, mund të këmbehen dy rreshta paralele. Forma kanonike nënkupton që të gjitha elementet e matricës që janë të vendosura në diagonalen kryesore bëhen ato, dhe pjesa tjetër bëhen zera.
Elementet përkatëse të rreshtave paralele të matricës mund t'i shtohen njëri-tjetrit.

Metoda Jordan-Gaus

Thelbi i zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare homogjene dhe jo-homogjene me metodën e Gausit është që të eliminohen gradualisht të panjohurat. Le të themi se kemi një sistem prej dy ekuacionesh në të cilat dy të panjohura. Për t'i gjetur ato, duhet të kontrolloni sistemin e pajtueshmërisë. Ekuacioni i Gausit është shumë i thjeshtë për t’u zgjidhur. Shtë e nevojshme të shkruani koeficientët e vendosur pranë secilit të panjohur në një formë matricë. Për të zgjidhur sistemin, duhet të shkruani një matricë të zgjatur. Nëse njëra prej ekuacioneve përmban më pak të panjohura, atëherë "0" duhet të vendoset në vendin e elementit që mungon. Të gjitha metodat e njohura të transformimit zbatohen në matricë: shumëzimi, ndarja me një numër, shtimi i elementeve korrespondues të serisë njëri-tjetrit, dhe të tjerët. Rezulton se në secilën rresht është e nevojshme të lini një variabël me vlerën "1", pjesa tjetër duhet të sillet në formën zero. Për një kuptim më të saktë, është e nevojshme të merret parasysh metoda e Gausit me shembuj.

Një shembull i thjeshtë i një zgjidhje të sistemit 2x2

Për të filluar, le të marrim një sistem të thjeshtë të ekuacioneve algjebrike, në të cilin do të ketë 2 të panjohura.

Le ta rishkruajmë atë në një matricë të zgjatur.

Për të zgjidhur këtë sistem të ekuacioneve lineare, kërkohen vetëm dy operacione. Ne kemi nevojë për të sjellë matricën në formën kanonike në mënyrë që të ketë njësi në diagonale kryesore. Pra, duke transferuar nga forma e matricës përsëri në sistem, marrim ekuacionet: 1x + 0y \u003d b1 dhe 0x + 1y \u003d b2, ku b1 dhe b2 janë përgjigjet e marra në procesin e zgjidhjes.

Hapi i parë në zgjidhjen e matricës së zgjatur do të jetë si vijon: rreshti i parë duhet të shumëzohet me -7 dhe elementët përkatës duhet të shtohen në rreshtin e dytë, përkatësisht, në mënyrë që të heqin qafe një të panjohur në ekuacionin e dytë.
Meqenëse zgjidhja e ekuacioneve me metodën e Gausit nënkupton sjelljen e matricës në formën kanonike, atëherë është e nevojshme të kryhen të njëjtat operacione me ekuacionin e parë dhe të hiqet variabla e dytë. Për ta bërë këtë, zbritni rreshtin e dytë nga e para dhe merrni përgjigjen e kërkuar - zgjidhja e SLAE. Ose, siç tregohet në figurë, shumëzoni rreshtin e dytë me një faktor -1 dhe shtoni elementët e rreshtit të dytë në rreshtin e parë. Eshte e njejta gje.

Siç mund ta shihni, sistemi ynë u zgjidh me metodën Jordan-Gauss. Ne rishkruajmë atë në formën e kërkuar: x \u003d -5, y \u003d 7.

Një shembull i zgjidhjes së një SLAE 3x3

Supozoni se kemi një sistem më kompleks të ekuacioneve lineare. Metoda e Gausit bën të mundur llogaritjen e përgjigjes edhe për sistemin më në dukje konfuz. Prandaj, për të hyrë më thellë në metodologjinë e llogaritjes, mund të kalohet në një shembull më kompleks me tre të panjohura.

Si në shembullin e mëparshëm, ne rishkruajmë sistemin në formën e një matrice të zgjatur dhe fillojmë ta sjellim atë në formën kanonike.

Për të zgjidhur këtë sistem, do t'ju duhet të kryeni shumë më tepër veprime sesa në shembullin e mëparshëm.

Së pari ju duhet të bëni një element njësie në kolonën e parë dhe zerot e mbetura. Për ta bërë këtë, shumëzoni ekuacionin e parë me -1 dhe shtoni ekuacionin e dytë në të. Shtë e rëndësishme të mbani mend që ne rishkruajmë rreshtin e parë në formën e saj origjinale, dhe e dyta - tashmë e ndryshuar.
Atëherë ne heqim të njëjtën të parë të panjohur nga ekuacioni i tretë. Për ta bërë këtë, shumëzoni elementet e rreshtit të parë me -2 dhe shtojini ato në rreshtin e tretë. Tani rreshtat e parë dhe të dytë rishkruhen në formën e tyre origjinale, dhe e treta - me ndryshime. Siç mund ta shihni nga rezultati, e morëm të parën në fillim të diagonës kryesore të matricës dhe zerot e mbetura. Disa hapa të tjerë, dhe sistemi i ekuacioneve me metodën e Gausit do të zgjidhet me besueshmëri.
Tani është e nevojshme të kryhen operacione në elementë të tjerë të rreshtave. Veprimet e treta dhe të katërt mund të kombinohen në një. Ju duhet të ndani rreshtat e dytë dhe të tretë me -1 për të hequr qafe minus ato në diagonale. Tashmë kemi sjellë rreshtin e tretë në formularin e kërkuar.
Tjetra, ne kanonizojmë rreshtin e dytë. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë elementet e rreshtit të tretë me -3 dhe i shtojmë ato në rreshtin e dytë të matricës. Rezultati tregon se linja e dytë është ulur edhe në formën që na nevojitet. Mbetet për të bërë edhe disa operacione të tjera dhe për të hequr koeficientët e të panjohurve nga rreshti i parë.
Për të bërë 0 nga elementi i dytë i rreshtit, duhet të shumëzoni rreshtin e tretë me -3 dhe ta shtoni atë në rreshtin e parë.
Hapi tjetër vendimtar do të jetë shtimi i elementeve të nevojshëm të rreshtit të dytë në rreshtin e parë. Pra, marrim formën kanonike të matricës, dhe, në përputhje me rrethanat, përgjigjen.

Siç mund ta shihni, zgjidhja e ekuacioneve me metodën Gaussian është mjaft e thjeshtë.

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh 4x4

Disa sisteme më komplekse të ekuacioneve mund të zgjidhen me metodën Gaussian duke përdorur programe kompjuterike. Shtë e nevojshme për të drejtuar koeficientët për të panjohurat në qelizat bosh ekzistuese, dhe programi vetë do të llogarisë rezultatin e kërkuar hap pas hapi, duke përshkruar në detaje çdo veprim.

Më poshtë është një udhëzim hap pas hapi për zgjidhjen e një shembulli të tillë.

Në aksionin e parë, koeficientët e lirë dhe numrat për të panjohurat futen në qelizat boshe. Kështu, marrim të njëjtën matricë të zgjatur që shkruajmë me dorë.

Dhe kryhen të gjitha operacionet e nevojshme aritmetike për të sjellë matricën e zgjeruar në formën kanonike. Duhet të kuptohet se përgjigjja ndaj një sistemi ekuacionesh nuk është gjithmonë numra i plotë. Ndonjëherë zgjidhja mund të jetë numra thyesor.

Kontrollimi i korrektësisë së zgjidhjes

Metoda Jordan-Gauss parashikon kontrollimin e korrektësisë së rezultatit. Në mënyrë që të zbuloni nëse koeficientët janë llogaritur saktë, ju vetëm duhet të zëvendësoni rezultatin në sistemin origjinal të ekuacioneve. Ana e majtë e ekuacionit duhet të përputhet me anën e djathtë pas shenjës së barabartë. Nëse përgjigjet nuk përkojnë, atëherë është e nevojshme të rillogaritni sistemin ose të përpiqeni të aplikoni tek ai një metodë tjetër e njohur për ju për zgjidhjen e SLAE-ve, të tilla si zëvendësimi ose zbritja afat-pas-periudha dhe shtimi. Në fund të fundit, matematika është një shkencë që ka një numër të madh të metodave të ndryshme të zgjidhjes. Por mbani mend: rezultati duhet të jetë gjithmonë i njëjtë, pa marrë parasysh cilën metodë zgjidhjeje keni përdorur.

Metoda e Gausit: gabimet më të zakonshme kur zgjidhet një SHKLB

Gjatë zgjidhjes së sistemeve lineare të ekuacioneve, gabime të tilla si transferimi i gabuar i koeficientëve në formën e matricës më së shpeshti ndodhin. Ekzistojnë sisteme në të cilat disa të panjohura mungojnë në njërën prej ekuacioneve, atëherë, duke transferuar të dhëna në një matricë të zgjeruar, ato mund të humbasin. Si rezultat, gjatë zgjidhjes së këtij sistemi, rezultati mund të mos korrespondojë me atë real.

Një tjetër nga gabimet kryesore mund të jetë shkrimi i pasaktë i rezultatit përfundimtar. Shtë e nevojshme të kuptohet qartë se koeficienti i parë do të korrespondojë me të parën e panjohur nga sistemi, i dyti në të dytin, etj.

Metoda e Gausit përshkruan në detaje zgjidhjen e ekuacioneve lineare. Falë tij, është e lehtë të kryeni operacionet e nevojshme dhe të gjeni rezultatin e saktë. Për më tepër, është një mjet universal për të gjetur një përgjigje të besueshme për ekuacionet e çdo kompleksiteti. Ndoshta kjo është arsyeja pse përdoret kaq shpesh kur zgjidhen SLAE.

Një nga metodat universale dhe efektive për zgjidhjen e sistemeve algjebrike lineare është metoda e Gausit , që konsiston në eleminimin e njëpasnjëshëm të të panjohurve.

Kujtojmë që quhen dy sisteme ekuivalent (ekuivalente) nëse grupet e zgjidhjeve të tyre përkojnë. Me fjalë të tjera, sistemet janë ekuivalente nëse secila zgjidhje për njërën prej tyre është një zgjidhje për tjetrën dhe anasjelltas. Sistemet ekuivalente fitohen kur shndërrimet elementare ekuacionet e sistemit:

duke shumëzuar të dy palët e ekuacionit me një numër jozero;

duke shtuar në një ekuacion të caktuar pjesët përkatëse të një ekuacioni tjetër shumëzuar me një numër tjetër përveç zeros;

permutimi i dy ekuacioneve.

Le të jepet një sistem ekuacionesh

Procesi i zgjidhjes së këtij sistemi duke përdorur metodën e Gausit përbëhet nga dy faza. Në fazën e parë (drejtimi i drejtpërdrejtë), sistemi zvogëlohet nga shndërrimet elementare në hap pas hapi , ose trekëndësh mendje, dhe në fazën e dytë (të kundërt) ekziston një sekuencial, duke filluar me ndryshoren e fundit nga numri i ndryshores, përcaktimi i të panjohurve nga sistemi i hapit rezultues.

Supozoni se koeficienti i këtij sistemi
, përndryshe në sistem rreshti i parë mund të ndërrohet me çdo rresht tjetër në mënyrë që koeficienti në ishte jozero.

Ne e transformojmë sistemin duke eleminuar të panjohurën në të gjitha ekuacionet përveç të parës. Për ta bërë këtë, shumëzoni të dy palët e ekuacionit të parë me dhe shtojeni atë term pas termi me ekuacionin e dytë të sistemit. Atëherë ne shumëzojmë të dy palët e ekuacionit të parë me dhe shtojeni në ekuacionin e tretë të sistemit. Duke vazhduar këtë proces, ne kemi një sistem ekuivalent

këtu
- vlera të reja të koeficientëve dhe termave të lirë që merren pas hapit të parë.

Në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh elementin kryesor
, përjashtoni të panjohurën nga të gjitha ekuacionet e sistemit, përveç të parës dhe të dytës. Ne do ta vazhdojmë këtë proces për aq kohë sa të jetë e mundur, si rezultat do të marrim një sistem hapash

ku ,
,…,- elementet kryesore të sistemit
.

Nëse në procesin e zvogëlimit të sistemit në një formë hap pas hapi, shfaqen ekuacionet, d.m.th, barazitë e formës
, ata janë hedhur poshtë, pasi ata janë të kënaqur nga çdo grup numrash
... Nëse në
shfaqet një ekuacion i formës që nuk ka zgjidhje, kjo tregon për mospërputhjen e sistemit.

Në lëvizje të kundërt, e panjohura e parë shprehet nga ekuacioni i fundit i sistemit të shndërrimit të shndërruar nëpër të gjitha të panjohurat e tjera
që telefonojnë falas . Pastaj shprehja e ndryshueshme nga ekuacioni i fundit i sistemit zëvendësohet në ekuacionin e parafundit dhe nga ajo shprehet ndryshorja
... Variablat përcaktohen në mënyrë të ngjashme
... Variablat
të shprehura në terma të variablave të lira quhen themelor (I varur). Rezultati është një zgjidhje e përgjithshme për një sistem të ekuacioneve lineare.

Per te gjetur zgjidhje private sistem, i panjohur falas
në zgjidhjen e përgjithshme caktohen vlera arbitrare dhe llogariten vlerat e variablave
.

Shtë teknikisht më i përshtatshëm për t’iu nënshtruar transformimeve elementare jo ekuacioneve të vetë sistemit, por matricës së zgjatur të sistemit

Metoda e Gausit është një metodë universale që ju lejon të zgjidhni jo vetëm sisteme katrore, por edhe drejtkëndëshe në të cilat numri i të panjohurave
jo e barabartë me numrin e ekuacioneve
.

Përparësia e kësaj metode qëndron edhe në faktin se në procesin e zgjidhjes ne njëkohësisht hetojmë sistemin e pajtueshmërisë, pasi, duke i dhënë matricën e zgjatur
hap pas hapi, është e lehtë të përcaktohen radhët e matricës dhe matricë e zgjatur
dhe aplikoni teorema e Kronecker - Capelli .

Shembulli 2.1Duke përdorur metodën e Gausit, zgjidhni sistemin

vendim... Numri i ekuacioneve
dhe numrin e të panjohurve
.

Le të kompozojmë matricën e zgjatur të sistemit duke caktuar në të djathtë të matricës së koeficientëve kolonë e anëtarëve të lirë .

Le të japim një matricë në një pamje trekëndore; për këtë do të marrim "0" poshtë elementeve në diagonën kryesore duke përdorur shndërrimet elementare.

Për të marrë "0" në pozicionin e dytë të kolonës së parë, shumëzoni rreshtin e parë me (-1) dhe shtoni në rreshtin e dytë.

Ne e shkruajmë këtë shndërrim si një numër (-1) kundër rreshtit të parë dhe e shënojmë atë me një shigjetë që shkon nga rreshti i parë në rreshtin e dytë.

Për të marrë "0" në pozicionin e tretë të kolonës së parë, shumëzoni rreshtin e parë me (-3) dhe shtoni në rreshtin e tretë; tregoni këtë veprim me një shigjetë që shkon nga rreshti i parë në të tretën.

Në matricën rezultuese, të shkruar si e dyta në zinxhirin e matricave, marrim "0" në kolonën e dytë në pozicionin e tretë. Për ta bërë këtë, shumëzoni rreshtin e dytë me (-4) dhe shtoni në të tretën. Në matricën rezultuese, ne shumëzojmë rreshtin e dytë me (-1), dhe ndajmë të tretin me (-8). Të gjithë elementët e kësaj matricë që ndodhen poshtë elementeve diagonale janë zero.

si , sistemi është bashkëpunues dhe specifik.

Sistemi i ekuacioneve që korrespondojnë me matricën e fundit ka një formë trekëndore:

Nga ekuacioni i fundit (i tretë)
... Zëvendësoni në ekuacionin e dytë dhe merrni
.

zëvendësim
dhe
në ekuacionin e parë, gjejmë

.

Shembulli 2.2. Hetoni sistemin për pajtueshmërinë dhe, në rast të pajtueshmërisë, gjeni një zgjidhje:

Vendimi.Le të aplikojmë metodën e Gausit në këtë sistem.

Le të shkruajmë matricën e zgjatur të sistemit, pasi kemi shkëmbyer më parë rreshtat e dytë dhe të parë për lehtësinë e llogaritjeve. Le ta sjellim atë në një formë të ngritur.

̴
̴
.

Le të gjejmë radhët e matricave:. si
, atëherë sistemi është në kundërshtim, d.m.th. nuk ka zgjidhje.

Me fjalë të tjera, sistemi përmban një ekuacion kontradiktor të formës:

ose
, pra, është në kundërshtim.

Karl Friedrich Gauss - matematikan gjerman, themelues i metodës me të njëjtin emër për zgjidhjen e SLAE

Karl Friedrich Gauss ishte një matematikan i famshëm i shkëlqyeshëm dhe në një kohë ai u njoh si "mbreti i matematikës". Megjithëse emri "metodë Gaussian" përgjithësisht pranohet, Gausi nuk është autori i tij: metoda e Gausit ishte e njohur shumë kohë para tij. Përshkrimi i parë i tij është në traktatin kinez "Matematika në nëntë libra", i cili u përpilua midis shekullit II. BC e. dhe unë shek. n. e. dhe është një përmbledhje e veprave të mëparshme të shkruara rreth shekullit të 10-të. BC e.

- eleminimi i vazhdueshëm i të panjohurave. Kjo metodë përdoret për të zgjidhur sistemet kuadratike të ekuacioneve algjebrike lineare. Megjithëse ekuacionet zgjidhen lehtësisht duke përdorur metodën Gaussian, studentët shpesh nuk mund të gjejnë zgjidhjen e duhur, pasi ngatërrohen në shenja (pluse dhe minus). Prandaj, kur zgjidhni SHLLA, është e nevojshme të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm, dhe vetëm atëherë mund të zgjidhet lehtësisht, shpejt dhe saktë ekuacioni më i ndërlikuar.

Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare kanë disa përparësi: ekuacioni nuk duhet të jetë paraprakisht për konsistencën; është e mundur të zgjidhen sisteme të tilla të ekuacioneve në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura ose përcaktori i matricës kryesore është i barabartë me zero; është e mundur, duke përdorur metodën e Gausit, të çojë në një rezultat me një numër relativisht të vogël të operacioneve llogaritëse.

Siç është përmendur tashmë, metoda e Gausit shkakton disa vështirësi për studentët. Sidoqoftë, nëse mësoni metodologjinë dhe algoritmin e zgjidhjes, menjëherë i kuptoni ndërlikimet e zgjidhjes.

Për të filluar, ne sistemojmë njohuri për sistemet e ekuacioneve lineare.

Shënim!

Një SLAE, në varësi të elementeve të saj, mund të ketë:

Një zgjidhje;
shumë zgjidhje;
nuk kanë zgjidhje fare.

Në dy rastet e para, SLAE quhet e pajtueshme, dhe në rastin e tretë, është e papajtueshme. Nëse një sistem ka një zgjidhje, ai quhet i përcaktuar, dhe nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë sistemi quhet i pacaktuar.

Metoda e Gausit - teorema, shembuj të zgjidhjeve azhurnuar: 22 nëntor 2019 nga autori: Artikuj Shkencorë.Ru

Metoda e Gausit u propozua nga matematikani i njohur gjerman Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) dhe është një nga metodat më të gjithanshme për zgjidhjen e SLAE. Thelbi i kësaj metode është që përmes eleminimit të njëpasnjëshëm të të panjohurve, sistemi i dhënë shndërrohet në një sistem hap pas hapi (në veçanti, trekëndësh) ekuivalent me atë të dhënë. Në zgjidhjen praktike të problemit, matrica e zgjatur e sistemit është reduktuar në një formë hap pas hapi duke përdorur transformime elementare mbi rreshtat e tij. Më tej, të gjitha të panjohurat gjenden rradhazi, duke filluar nga poshtë lart.

Parimi i metodës gausiane

Metoda e Gausit përfshin lëvizjet direkte (zvogëlimi i matricës së zgjatur në një formë të përshkruar, domethënë marrja e zeros nën diagonale kryesore) dhe lëvizjet inverse (marrja e zeros mbi diagonale kryesore të matricës së zgjatur). Masa përpara quhet metoda e Gausit, e kundërta është metoda Gauss-Jordan, e cila ndryshon nga e para vetëm në sekuencën e variablave eliminues.

Metoda e Gausit është ideale për zgjidhjen e sistemeve që përmbajnë më shumë se tre ekuacione lineare, për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve që nuk janë kuadratike (gjë që nuk mund të thuhet në lidhje me metodën Cramer dhe metodën e matricës). Kjo do të thotë, metoda e Gausit është metoda më e gjithanshme për të gjetur një zgjidhje për çdo sistem të ekuacioneve lineare; funksionon kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është në kundërshtim.

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve

shembull

Detyrë. Zgjidhja e SLAE me metodën e Gausit.

Vendimi. Le të shkruajmë matricën e zgjatur të sistemit dhe, duke përdorur shndërrimet elementare mbi rreshtat e saj, sjellim këtë matricë në një formë të hapur (lëvizje përpara) dhe më pas kryejmë lëvizjen e kundërt të metodës Gauss (bëj zeros sipër diagonës kryesore). Së pari, le të ndryshojmë rreshtin e parë dhe të dytë në mënyrë që elementi të jetë i barabartë me 1 (ne e bëjmë këtë për të thjeshtuar llogaritjet):

Ndani të gjithë elementët e rreshtit të tretë me dy (ose, që është i njëjtë, shumëzoni):

Zbrit rreshtin e dytë nga rreshti i tretë, shumëzuar me 3:

Duke shumëzuar rreshtin e tretë me, ne marrim:

Le ta kthejmë tani metodën e Gausit (metoda Gassou-Jordan), domethënë, ne bëjmë zeros mbi diagonalen kryesore. Le të fillojmë me elementët në kolonën e tretë. Shtë e nevojshme të zero elementin, për këtë ne zbritim të tretin nga rreshti i dytë.

Përkufizimi dhe përshkrimi i metodës gausiane

Metoda e shndërrimit Gaussian (i njohur edhe si eleminimi sekuencial i ndryshoreve të panjohura nga një ekuacion ose matricë) për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare është një metodë klasike për zgjidhjen e një sistemi të ekuacioneve algjebrike (SLAE). Gjithashtu, kjo metodë klasike përdoret për të zgjidhur probleme të tilla si marrja e matricave inverse dhe përcaktimi i gradës së një matrice.

Transformimi duke përdorur metodën e Gausit konsiston në bërjen e ndryshimeve të vogla (elementare) sekuenciale në sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare, duke çuar në eliminimin e variablave nga ai nga lart poshtë, me formimin e një sistemi të ri trekëndësh të ekuacioneve, i cili është i barabartë me atë origjinal.

Përkufizimi 1

Kjo pjesë e zgjidhjes quhet kursi i drejtpërdrejtë i zgjidhjes Gaussian, pasi i gjithë procesi kryhet nga lart poshtë.

Pas zvogëlimit të sistemit origjinal të ekuacioneve në një trekëndësh, të gjitha variablat e sistemit gjenden nga poshtë lart (d.m.th., variablat e para të gjetura zënë pikërisht në rreshtat e fundit të sistemit ose matricës). Kjo pjesë e zgjidhjes njihet edhe si përmbysja e Gausit. Algoritmi i tij është si më poshtë: së pari, llogariten variablat që janë më afër fundit të sistemit të ekuacioneve ose matricës, atëherë vlerat e fituara zëvendësohen më lart dhe kështu gjendet një variabël më shumë, etj.

Përshkrimi i algoritmit të metodës Gaussian

Sekuenca e veprimeve për zgjidhjen e përgjithshme të sistemit të ekuacioneve me metodën Gaussian konsiston në aplikimin alternativ të lëvizjes përpara dhe të kundërt në matricë bazuar në SLAE. Le sistemi origjinal i ekuacioneve të ketë formën e mëposhtme:

$ \\ fillo (rastet) a_ (11) \\ cdot x_1 + + ... + a_ (1n) \\ cdot x_n \u003d b_1 \\\\ ... \\\\ a_ (m1) \\ cdot x_1 + a_ (mn) \\ cdot x_n \u003d b_m \\ fund (raste) $

Për të zgjidhur SLAE me metodën Gaussian, është e nevojshme të shkruani sistemin origjinal të ekuacioneve në formën e një matrice:

$ A \u003d \\ filloni (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\\\ \\ vdots &… & \\ vdots \\\\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \\ fund (pmatrix) $, $ b \u003d \\ fillo (pmatrix) b_1 \\\\ \\ vdots \\\\ b_m \\ fund (pmatrix) $

Matrica $ A $ quhet matrica kryesore dhe përfaqëson koeficientët e ndryshoreve të shkruara në rregull, dhe $ b $ quhet kolona e termave të saj të lirë. Matrica $ A $, e shkruar përmes një shiriti me një kolonë me terma falas, quhet një matricë e zgjatur:

$ A \u003d \\ fillimi (vargu) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\\\ \\ vdots &… & \\ vdots & ... \\\\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \\ fund (varg) $

Tani është e nevojshme, duke përdorur shndërrimet elementare mbi sistemin e ekuacioneve (ose mbi matricën, pasi është më i përshtatshëm), për ta sjellë atë në formën e mëposhtme:

$ \\ filloni (raste) α_ (1j_ (1)) \\ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_1 \\\\ α_ (2j_ (2)) \\ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_2 \\\\ ... \\\\ α_ ( rj_ (r)) \\ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \\ cdot x_ (j_ (n)) \u003d β_r \\\\ 0 \u003d β_ (r + 1) \\\\… \\ Matrica e marrë nga koeficientët e sistemit të transformuar të ekuacionit (1) quhet hap, kjo është se si duken zakonisht matricat e hapura:

$ A \u003d \\ fillo (vargu) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\\\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\\\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \\ fund (varg) $

Këto matrica karakterizohen nga grupi i mëposhtëm i pronave:

Të gjitha linjat e saj zero janë pas jozero

Nëse ndonjë rresht i matricës me numrin $ k $ është jozero, atëherë në rreshtin e mëparshëm të së njëjtës matricë ka më pak zero se në këtë rresht me numrin $ k $.
Pas marrjes së matricës hap pas hapi, është e nevojshme që të zëvendësohen variablat e marra në ekuacionet e mbetura (duke filluar nga fundi) dhe të merren vlerat e mbetura të variablave.

Rregullat themelore dhe shndërrimet e zgjidhshme duke përdorur metodën e Gausit

Kur thjeshtoni një matricë ose sistem ekuacionesh me këtë metodë, duhet të përdoren vetëm shndërrimet elementare.

Shndërrime të tilla janë operacione që mund të aplikohen në një matricë ose një sistem ekuacionesh pa ndryshuar kuptimin e tij:

permutimi i disa linjave në vende,

duke shtuar ose zbritur nga një rresht i matricës rresht tjetër nga ajo,
shumëzimi ose ndarja e një linje me një konstantë jo të barabartë me zero,
linja që përbëhet nga vetëm zero të marra në procesin e llogaritjes dhe thjeshtësimit të sistemit duhet të fshihet,
ju gjithashtu duhet të hiqni linja të panevojshme proporcionale, duke zgjedhur për sistemin të vetmin me koeficientë më të përshtatshëm dhe të përshtatshëm për llogaritjet e mëtejshme.
Të gjitha transformimet elementare janë të kthyeshme.

Analiza e tre rasteve kryesore që lindin gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e shndërrimeve të thjeshta gausiane

Ekzistojnë tre raste që lindin kur përdorni metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve:

Kur sistemi është i papajtueshëm, d.m.th., ai nuk ka zgjidhje

Sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje, dhe e vetmja, dhe numri i rreshtave dhe kolonave jozero në matricë është i barabartë me njëri-tjetrin.
{!LANG-038c9e8cd23ae186f414669bcd69188a!}
Sistemi ka një numër të caktuar ose shumë zgjidhje të mundshme, dhe numri i rreshtave në të është më i vogël se numri i kolonave.

Rezultati i zgjidhjes me një sistem të papajtueshëm

Për këtë mundësi, kur zgjidhet një ekuacion i matricës me metodën e Gausit, është karakteristike të sigurohet një vijë me pamundësinë e përmbushjes së barazisë. Prandaj, nëse ndodh të paktën një barazi e gabuar, sistemet rezultuese dhe fillestare nuk kanë zgjidhje, pavarësisht nga ekuacionet e tjera që ato përmbajnë. Një shembull i një matricë në kundërshtim:

$ \\ fillo (vargu) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 0 & 0 & 0 & 1 \\ end (array) $

Në rreshtin e fundit lindi një barazi e paplotësuar: $ 0 \\ cdot x_ (31) + 0 \\ cdot x_ (32) + 0 \\ cdot x_ (33) \u003d 1 $.

Një sistem ekuacionesh me vetëm një zgjidhje

Këto sisteme, pas reduktimit në një matricë të shkallëzuar dhe heqjes së rreshtave me zero, kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash në matricën kryesore. Këtu është shembulli më i thjeshtë i një sistemi të tillë:

$ \\ fillo (raste) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 2 \\ cdot x_1 + x_2 \u003d -7 \\ fund (raste) $

Le ta shkruajmë atë në formën e një matrice:

$ \\ filloni (vargu) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 2 & 1 & -7 \\ fund (grupi) $

Për ta sjellë qelizën e parë të rreshtit të dytë në zero, shumëzoni rreshtin e lartë me $ -2 $ dhe zbritni atë nga rreshti i poshtëm i matricës, dhe lini rreshtin e lartë në formën e tij origjinale, si rezultat kemi këto:

$ \\ filloni (vargu) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\\\ 0 & 3 & 10 \\ end (grupi) $

Ky shembull mund të shkruhet si sistem:

$ \\ filloni (raste) x_1 - x_2 \u003d -5 \\\\ 3 \\ cdot x_2 \u003d 10 \\ fund (raste) $

Vlera e mëposhtme prej $ x $ del nga ekuacioni i poshtëm: $ x_2 \u003d 3 \\ frac (1) (3) $. Zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacionin e sipërm: $ x_1 - 3 \\ frac (1) (3) $, marrim $ x_1 \u003d 1 \\ frac (2) (3) $.

Një sistem me shumë zgjidhje të mundshme

Ky sistem karakterizohet nga një numër më i vogël i rreshtave domethënës sesa numri i kolonave në të (rreshtat e matricës kryesore merren parasysh).

Variablat në një sistem të tillë ndahen në dy lloje: themelore dhe të lira. Kur shndërroni një sistem të tillë, variablat kryesore që përmbahen në të duhet të lihen në zonën e majtë deri në shenjën "\u003d", dhe variablat e mbetura duhet të transferohen në anën e djathtë të barazisë.

Një sistem i tillë ka vetëm disa zgjidhje të përgjithshme.

Le të analizojmë sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

$ \\ filloni (rastet) 2y_1 + 3y_2 + x_4 \u003d 1 \\\\ 5y_3 - 4y_4 \u003d 1 \\ end (raste) $

Le ta shkruajmë atë në formën e një matrice:

$ \\ filloni (vargu) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\\\ \\ end (grupi) $

Detyra jonë është të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme të sistemit. Për këtë matricë, variablat themelorë do të jenë $ y_1 $ dhe $ y_3 $ (për $ y_1 $ - meqenëse është në radhë të parë, dhe në rastin e y_3 $ - ai ndodhet pas zero).

Si ndryshore themelore, ne zgjedhim saktësisht ato që janë të parat në rresht që nuk janë të barabarta me zero.

Variablat e mbetur quhen të lirë, përmes tyre duhet të shprehim ato themelore.

Duke përdorur të ashtuquajturën goditje të kundërt, ne analizojmë sistemin nga poshtë lart, për këtë, së pari shprehim $ y_3 $ nga vija e poshtme e sistemit:

$ 5y_3 - 4y_4 \u003d 1 $

$ 5y_3 \u003d 4y_4 + 1 $

$ y_3 \u003d \\ frac (4/5) y_4 + \\ frac (1) (5) $.

Tani në ekuacionin e sipërm të sistemit $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 \u003d 1 $ ne zëvendësojmë $ y_3 $ shprehur: $ 2y_1 + 3y_2 - (\\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5)) + y_4 \u003d 1 $

Shprehni $ y_1 $ përmes variablave falas $ y_2 $ dhe $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \\ frac (4) (5) y_4 - \\ frac (1) (5) + y_4 \u003d 1 $

$ 2y_1 \u003d 1 - 3y_2 + \\ frac (4) (5) y_4 + \\ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 \u003d -3y_2 - \\ frac (1) (5) y_4 + \\ frac (6) (5) $

$ y_1 \u003d -1.5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $

Zgjidhja është gati.

Shembulli 1

Zgjidhet i dobët me metodën Gaussian. Shembuj. Një shembull i zgjidhjes së një sistemi të ekuacioneve lineare të dhënë nga një matricë 3 nga 3 duke përdorur metodën e Gausit

$ \\ fillo (raste) 4x_1 + 2x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 \u003d 2 \\\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 \u003d 0 \\ fund (raste) $

Ne shkruajmë sistemin tonë në formën e një matrice të zgjeruar:

$ \\ filloni (vargu) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ fund (grupi) $

Tani për lehtësi dhe praktikë, ju duhet të transformoni matricën në mënyrë që të ketë $ 1 $ në këndin e sipërm të kolonës ekstreme.

Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin nga kohërat e mesme -1 $ $ në rreshtin e 1, dhe shkruani rreshtin e mesëm ashtu siç është, rezulton:

$ \\ fillo (vargu) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 5 & 3 & -2 & 2 \\\\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\\ \\ fund (array) $

$ \\ filloni (vargu) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 0 & -3 \\\\ \\ fund (grupi) $

Shumëzoni linjat e sipërme dhe të fundit me $ 1 $, dhe gjithashtu ndërroni linjat e fundit dhe të mesme:

$ \\ fillo (vargu) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & -2 & 3 & -3 \\\\ \\ fund (array) $

$ \\ fillimi (vargu) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ \\ end (array) $

Dhe ndani rreshtin e fundit me $ 3 $:

$ \\ fillo (vargu) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ \\ end (array) $

Marrim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve, që është i barabartë me atë origjinal:

$ \\ filloni (rastet) x_1 + x_2 - x_3 \u003d 1 \\\\ x_2 \u003d 3 \\\\ x_3 \u003d 1 \\ fund (raste) $

Nga ekuacioni i sipërm, ne shprehim $ x_1 $:

$ x1 \u003d 1 + x_3 - x_2 \u003d 1 + 1 - 3 \u003d -1 $.

Shembulli 2

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi të përcaktuar duke përdorur një matricë 4 nga 4 me metodën e Gausit

$ \\ filloni (grupi) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\\ \\ fund (varg) $.

Në fillim, ne ndryshojmë vendet e linjave të sipërme të hulumtimit pas saj për të marrë 1 $ në këndin e sipërm të majtë:

$ \\ filloni (vargu) (ccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\\\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\\ \\ fund (varg) $.

Tani shumëzoni rreshtin e lartë me $ -2 $ dhe shtoni në 2-të dhe 3-të. Në të 4-të shtojmë rreshtin e 1-të shumëzuar me -3 $:

$ \\ fillo (vargu) (ccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\\\ \\ fund (varg) $

Tani në rreshtin 3 shtojmë rreshtin 2 shumëzuar me $ 4 $, dhe në rreshtin 4 shtojmë rreshtin 2 shumëzuar me -1 $ $.

$ \\ fillimi (vargu) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\\\ \\ fund (varg) $

Ne e shumëzojmë rreshtin 2 me $ 1 $, dhe e ndajmë rreshtin 4 me $ 3 $ dhe vendosim në vend të rreshtit 3.

$ \\ fillo (vargu) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\\\ \\ fund (varg) $

Tani shtoni në rreshtin e fundit atë të parafundit të shumëzuar me -5 $ $.

$ \\ filloni (grupi) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ \\ fund (varg) $

Ne zgjidhim sistemin rezultues të ekuacioneve:

$ \\ fillimi (raste) m \u003d 0 \\\\ g \u003d 2 \\\\ y + m \u003d 2 \\ \\ x + 3y + 2g + m \u003d 11 \\ fund (raste) $